与えられた行列の逆行列の (4,2) 成分の値を求める問題です。与えられた行列は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列の (4,2) 成分の値を求める問題です。与えられた行列は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列の (4,2) 成分は、行列 $A$ の余因子行列の転置行列（すなわち、随伴行列）の (4,2) 成分を、行列 $A$ の行列式で割ったものです。

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。第2列で余因子展開を行うと、

$det(A) = 0 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{32} + 3 \cdot C_{42} = 2C_{22} + 3C_{42}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i,j)$ 成分の余因子を表します。

$C_{22} = (-1)^{2+2} det \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1-6) = -5$

$C_{42} = (-1)^{4+2} det \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0-6+0-(0+1+0)) = -7$

よって、$det(A) = 2(-5) + 3(-7) = -10 - 21 = -31$

次に、逆行列の (4,2) 成分を計算します。これは、行列 $A$ の余因子行列の転置行列の (4,2) 成分を行列式で割ったものなので、余因子 $C_{24}$ を求めます。

$C_{24} = (-1)^{2+4} det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0+0+18-0-3-0) = 15$

したがって、逆行列の (4,2) 成分は $\frac{C_{24}}{det(A)} = \frac{15}{-31} = -\frac{15}{31}$

3. 最終的な答え

$-\frac{15}{31}$