2つの2次方程式 $x^2 - p^2x - 1 = 0$ と $x^2 + px - 1 = 0$ がある。$x^2 - p^2x - 1 = 0$ の2つの解は、$x^2 + px - 1 = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数に等しいとき、定数 $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 - p^2x - 1 = 0$ と $x^2 + px - 1 = 0$ がある。$x^2 - p^2x - 1 = 0$ の2つの解は、$x^2 + px - 1 = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数に等しいとき、定数 $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + px - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -p$

$\alpha\beta = -1$

$x^2 - p^2x - 1 = 0$ の2つの解は $\alpha + 1$, $\beta + 1$ と表せるので、同様に解と係数の関係から、

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = p^2$

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -1$

これらの式から $p$ を求める。

まず、 $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = p^2$ より、

$\alpha + \beta + 2 = p^2$

$\alpha + \beta = -p$ を代入すると、

$-p + 2 = p^2$

$p^2 + p - 2 = 0$

$(p + 2)(p - 1) = 0$

したがって、$p = -2, 1$

次に、 $(\alpha + 1)(\beta + 1) = -1$ より、

$\alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -1$

$\alpha\beta = -1$, $\alpha + \beta = -p$ を代入すると、

$-1 - p + 1 = -1$

$-p = -1$

$p = 1$

したがって、2つの式を満たす $p$ の値は $p = 1$

3. 最終的な答え

$p = 1$