(1) $a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ を証明する。 (2) 不等式 $(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ を証明する。また、$a > 0, b > 0, a^2 + b^2 = 1$ のとき、不等式 $3a + 4b \le 5$ を証明する。

1. 問題の内容

(1) $a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ を証明する。

(2) 不等式 $(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ を証明する。また、$a > 0, b > 0, a^2 + b^2 = 1$ のとき、不等式 $3a + 4b \le 5$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、左辺を展開する。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

相加平均・相乗平均の関係より、$ab > 0$ なので、

$ab + \frac{4}{ab} \ge 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

したがって、$ab + \frac{4}{ab} + 5 \ge 4 + 5 = 9$

よって、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ が成立する。

(2)

これはコーシー・シュワルツの不等式そのものである。

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2$

等号成立は $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ のとき。

次に、$a^2 + b^2 = 1$ のとき、$3a + 4b \le 5$ を示す。

コーシー・シュワルツの不等式を適用する。

$(3^2 + 4^2)(a^2 + b^2) \ge (3a + 4b)^2$

$25(a^2 + b^2) \ge (3a + 4b)^2$

$a^2 + b^2 = 1$ なので、

$25 \ge (3a + 4b)^2$

$3a + 4b > 0$ なので、

$5 \ge 3a + 4b$

したがって、$3a + 4b \le 5$ が成立する。

等号成立は $\frac{a}{3} = \frac{b}{4}$ のとき。

$a = 3k, b = 4k$ とおくと、$a^2 + b^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = 1$

$k^2 = \frac{1}{25}$ より、$k = \frac{1}{5}$ ($a, b > 0$ より、$k > 0$)

よって、$a = \frac{3}{5}, b = \frac{4}{5}$ のとき等号が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$

(2) $(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ 、 $3a + 4b \le 5$