(1) 数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ で定義されている。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおいたとき、数列 $\{b_n + 1\}$ の初項と公比を求め、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。 (2) 初項が3の数列 $\{a_n\}$ がある。$b_n = a_{n+1} - 3a_n$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ は初項6, 公比3の等比数列である。$a_n$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ で定義されている。$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおいたとき、数列 $\{b_n + 1\}$ の初項と公比を求め、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表す。

(2) 初項が3の数列 $\{a_n\}$ がある。$b_n = a_{n+1} - 3a_n$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ は初項6, 公比3の等比数列である。$a_n$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた漸化式の逆数をとる。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2a_n + 3}{a_n} = 2 + \frac{3}{a_n}$

ここで $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = 2 + 3b_n$

$b_{n+1} + 1 = 3b_n + 3 = 3(b_n + 1)$

したがって、数列 $\{b_n + 1\}$ は公比3の等比数列である。

初項は $b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = \frac{1}{1} + 1 = 2$ である。

よって、 $b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$ より

$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$

(2)

$b_n$ は初項6, 公比3の等比数列であるから、

$b_n = 6 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^n$

$b_n = a_{n+1} - 3a_n$ であるから、

$a_{n+1} = 3a_n + 2 \cdot 3^n$

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{2 \cdot 3^n}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{2}{3}$

$c_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$c_{n+1} = c_n + \frac{2}{3}$

したがって、数列 $\{c_n\}$ は初項 $\frac{a_1}{3^1} = \frac{3}{3} = 1$, 公差 $\frac{2}{3}$ の等差数列である。

$c_n = 1 + (n-1) \cdot \frac{2}{3} = 1 + \frac{2n}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2n + 1}{3}$

よって、

$a_n = 3^n c_n = 3^n \cdot \frac{2n+1}{3} = (2n+1) \cdot 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1)

数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 2, 公比 3 の等比数列である。

$a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$

(2)

$a_n = (2n+1) \cdot 3^{n-1}$