2次式 $x^2 + xy - 6y^2 - x + 7y + k$ が、$x, y$ の1次式の積に因数分解できるように、実数の定数 $k$ の値を定める。また、そのときの2次式を因数分解する。

1. 問題の内容

2次式 $x^2 + xy - 6y^2 - x + 7y + k$ が、$x, y$ の1次式の積に因数分解できるように、実数の定数 $k$ の値を定める。また、そのときの2次式を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた2次式を $x$ について整理する。

$x^2 + (y-1)x - (6y^2 - 7y - k)$

この $x$ についての2次式が因数分解できるためには、判別式 $D$ が完全平方式である必要がある。

判別式 $D$ を計算する。

$D = (y-1)^2 - 4(-6y^2 + 7y + k) = y^2 - 2y + 1 + 24y^2 - 28y - 4k = 25y^2 - 30y + (1-4k)$

$D$ が完全平方式になるためには、$D$ の判別式が 0 である必要がある。

$D$ の判別式を $D'$ とする。

$D' = (-30)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (1 - 4k) = 900 - 100 + 400k = 800 + 400k$

$D'=0$ より、$800 + 400k = 0$

$400k = -800$

$k = -2$

$k = -2$ のとき、$D = 25y^2 - 30y + 1 - 4(-2) = 25y^2 - 30y + 9 = (5y - 3)^2$

したがって、与えられた2次式は以下のように因数分解できる。

$x^2 + (y-1)x - (6y^2 - 7y + 2) = x^2 + (y-1)x - (2y-1)(3y-2)$

$= (x+3y-2)(x-2y+1)$

3. 最終的な答え

$k = -2$

$(x+3y-2)(x-2y+1)$