整式 $f(x)$ を $x^2 + 4$ で割ると、余りが $-4x - 8$ であり、$f(2) = 8$ であるとき、$f(x)$ を $(x^2 + 4)(x - 2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ を $x^2 + 4$ で割ると、余りが $-4x - 8$ であり、$f(2) = 8$ であるとき、$f(x)$ を $(x^2 + 4)(x - 2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を $(x^2 + 4)(x - 2)$ で割ったときの余りを $ax^2 + bx + c$ とすると、

$f(x) = (x^2 + 4)(x - 2)Q(x) + ax^2 + bx + c$ と表せる。

ここで、$Q(x)$ はある整式である。

$f(x)$ を $x^2 + 4$ で割った余りが $-4x - 8$ であるから、

$ax^2 + bx + c$ を $x^2 + 4$ で割った余りも $-4x - 8$ である。

よって、$ax^2 + bx + c = a(x^2 + 4) - 4x - 8$ と表せる。

したがって、$ax^2 + bx + c = ax^2 - 4x + 4a - 8$ となる。

$f(x) = (x^2 + 4)(x - 2)Q(x) + a(x^2 + 4) - 4x - 8$

$f(2) = (2^2 + 4)(2 - 2)Q(2) + a(2^2 + 4) - 4(2) - 8 = 8$

$0 + 8a - 8 - 8 = 8$

$8a = 24$

$a = 3$

したがって、余りは $3(x^2 + 4) - 4x - 8 = 3x^2 + 12 - 4x - 8 = 3x^2 - 4x + 4$

3. 最終的な答え

$3x^2 - 4x + 4$