$m$ を実数とし、放物線 $y = x^2 - mx + m - \frac{3}{4}$ を $C$ とします。$C$ の頂点の座標を $(X, Y)$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $X$ と $Y$ を $m$ を用いて表せ。 (2) $m$ の値が変化するとき、$Y$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ を実数とし、放物線 $y = x^2 - mx + m - \frac{3}{4}$ を $C$ とします。$C$ の頂点の座標を $(X, Y)$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $X$ と $Y$ を $m$ を用いて表せ。

(2) $m$ の値が変化するとき、$Y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 - mx + m - \frac{3}{4}$ を平方完成します。

$y = x^2 - mx + m - \frac{3}{4}$

$= (x - \frac{m}{2})^2 - (\frac{m}{2})^2 + m - \frac{3}{4}$

$= (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m - \frac{3}{4}$

従って、頂点の座標は $(\frac{m}{2}, -\frac{m^2}{4} + m - \frac{3}{4})$ となります。

よって、$X = \frac{m}{2}$、$Y = -\frac{m^2}{4} + m - \frac{3}{4}$ となります。

(2)

$Y$ を $m$ の関数として考え、その最大値を求めます。

$Y = -\frac{m^2}{4} + m - \frac{3}{4}$

$= -\frac{1}{4}(m^2 - 4m) - \frac{3}{4}$

$= -\frac{1}{4}((m - 2)^2 - 4) - \frac{3}{4}$

$= -\frac{1}{4}(m - 2)^2 + 1 - \frac{3}{4}$

$= -\frac{1}{4}(m - 2)^2 + \frac{1}{4}$

$m$ は実数なので、$-\frac{1}{4}(m - 2)^2 \leq 0$。

よって、$Y$ の最大値は $m = 2$ のとき $\frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $X = \frac{m}{2}$, $Y = -\frac{m^2}{4} + m - \frac{3}{4}$

(2) $\frac{1}{4}$