与えられた2次関数 $y=x^2-4x+5$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y=(x-p)^2+q$ の形に変形し、グラフの頂点を求め、グラフがどちらに凸か答えます。 (2) 定義域が $1 \le x \le 4$ のとき、最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y=x^2-4x+5$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y=(x-p)^2+q$ の形に変形し、グラフの頂点を求め、グラフがどちらに凸か答えます。

(2) 定義域が $1 \le x \le 4$ のとき、最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

平方完成を行います。

$y=x^2-4x+5$

$= x^2 - 2 \times 2 \times x + 5$

$=(x-2)^2 - 2^2 + 5$

$=(x-2)^2 - 4 + 5$

$=(x-2)^2 + 1$

よって、頂点は $(2, 1)$ です。また、$x^2$ の係数が正なので、グラフは下に凸です。

(2)

$x=1$ のとき、

$y = (1-2)^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 1+1 = 2$

$x=4$ のとき、

$y = (4-2)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4+1 = 5$

定義域が $1 \le x \le 4$ のとき、グラフの頂点のx座標は $x=2$ で、これは定義域に含まれます。

したがって、$x=2$ のとき最小値を取り、その値は $y=1$ です。

定義域の端点 $x=1$ と $x=4$ での $y$ の値を比較します。

$x=1$ のとき $y=2$ であり、$x=4$ のとき $y=5$ であるため、$x=4$ のときに最大値を取ります。

したがって、$x=4$ のとき最大値 $5$ を取ります。

3. 最終的な答え

(1)

$y=x^2-4x+5 = (x-2)^2 + 1$

頂点: $(2, 1)$

下に凸の放物線

(2)

$x=1$ のとき、$y=2$

$x=4$ のとき、$y=5$

$x=4$ のとき、最大値 $5$ である。

$x=2$ のとき、最小値 $1$ である。