与えられた行列 $B$ の余因子行列と逆行列を求める。 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $B$ の余因子行列と逆行列を求める。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列を求める。

余因子とは、$B$ の $i$ 行 $j$ 列を取り除いてできる小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものである。

余因子行列は、各要素を余因子で置き換えた行列の転置行列である。

$B$ の余因子行列を $C$ とする。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -2$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot (-1) - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) = 0$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = -2$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = 0$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) \cdot (-1) = -2$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 - 0) = 0$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 0) = 0$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = -2$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-0) = 0$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = -2$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0) = 0$

$C_{41} = (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = -1$

$C_{42} = (-1)^{4+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0-0) = 0$

$C_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 - 0) = -1$

$C_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1-0) = 2$

$C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列を求める。

$C^T = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

(2) 行列式を計算する。

$|B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) = -4$

(3) 逆行列を求める。

$B^{-1} = \frac{1}{|B|} C^T = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

余因子行列:

$\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

逆行列:

$\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}$