2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ のグラフとx軸との共有点の有無を2つの方法で判定し、空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ のグラフとx軸との共有点の有無を2つの方法で判定し、空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $-x^2 + 2x - 3 = 0$ の解を求める。解の公式を用いる。

$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられる。

この問題では、$a = -1, b = 2, c = -3$ であるから、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-2}$

根号の中は $4 - 12 = -8$ となる。根号の中が負であるため、実数解は存在しない。したがって、グラフとx軸との共有点はない。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x - 3$ のグラフの頂点を求める。平方完成を行う。

$y = -(x^2 - 2x) - 3 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3 = -(x - 1)^2 + 1 - 3 = -(x - 1)^2 - 2$

したがって、頂点は $(1, -2)$ である。

$x^2$ の係数が負なので、グラフは上に凸である。頂点が $(1, -2)$ であり、上に凸であることから、グラフはx軸と交わらない。したがって、グラフは④のようになる。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot(-1) \cdot(-3)}}{2 \cdot(-1)}$

イ: -8

ウ: (1, -2)

エ: ④