$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$において、$3^{-1}$となる数が存在するかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$において、$3^{-1}$となる数が存在するかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は、6を法とする整数の集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ です。$3^{-1}$ が存在するということは、$3x \equiv 1 \pmod{6}$ を満たす整数 $x$ が存在することを意味します。

$3x \equiv 1 \pmod{6}$ となる $x$ が存在するかどうかを調べます。

$x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ に対して $3x \pmod{6}$ を計算します。

- $3 \cdot 0 = 0 \equiv 0 \pmod{6}$

- $3 \cdot 1 = 3 \equiv 3 \pmod{6}$

- $3 \cdot 2 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$

- $3 \cdot 3 = 9 \equiv 3 \pmod{6}$

- $3 \cdot 4 = 12 \equiv 0 \pmod{6}$

- $3 \cdot 5 = 15 \equiv 3 \pmod{6}$

いずれの場合も、$3x \equiv 1 \pmod{6}$ となる $x$ は存在しません。

したがって、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ において $3^{-1}$ となる数は存在しません。

3. 最終的な答え

x