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与えられた4x4行列の行列式を計算します。 行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma & \delta \\ \beta & \alpha & \delta & \gamma \\ \gamma & \delta & \alpha & \beta \\ \delta & \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}$

代数学行列式線形代数行列
2025/7/11

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。
行列は以下の通りです。
$\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma & \delta \\
\beta & \alpha & \delta & \gamma \\
\gamma & \delta & \alpha & \beta \\
\delta & \gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に関する操作を行い、計算を簡略化します。
まず、1行目に2行目、3行目、4行目を加えてみましょう。
$\begin{pmatrix}
\alpha+\beta+\gamma+\delta & \alpha+\beta+\gamma+\delta & \alpha+\beta+\gamma+\delta & \alpha+\beta+\gamma+\delta \\
\beta & \alpha & \delta & \gamma \\
\gamma & \delta & \alpha & \beta \\
\delta & \gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}$
次に、α+β+γ+δ\alpha+\beta+\gamma+\delta を1行目から括り出します。
すると、以下のようになります。
$(\alpha+\beta+\gamma+\delta)\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\beta & \alpha & \delta & \gamma \\
\gamma & \delta & \alpha & \beta \\
\delta & \gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}$
次に、2列目から1列目、3列目から1列目、4列目から1列目を引きます。
$(\alpha+\beta+\gamma+\delta)\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\beta & \alpha-\beta & \delta-\beta & \gamma-\beta \\
\gamma & \delta-\gamma & \alpha-\gamma & \beta-\gamma \\
\delta & \gamma-\delta & \beta-\delta & \alpha-\delta
\end{pmatrix}$
この行列式は、1行目に関して展開することによって、より小さな行列式の計算に帰着させることができます。
$(\alpha+\beta+\gamma+\delta)\begin{vmatrix}
\alpha-\beta & \delta-\beta & \gamma-\beta \\
\delta-\gamma & \alpha-\gamma & \beta-\gamma \\
\gamma-\delta & \beta-\delta & \alpha-\delta
\end{vmatrix}$
次に、
a=α−βa = \alpha-\beta
b=δ−βb = \delta-\beta
c=γ−βc = \gamma-\beta
d=δ−γ=b−cd = \delta-\gamma = b-c
e=α−γ=a−ce = \alpha-\gamma = a-c
f=β−γ=−cf = \beta-\gamma = -c
g=γ−δ=c−bg = \gamma-\delta = c-b
h=β−δ=−bh = \beta-\delta = -b
i=α−δ=a−bi = \alpha-\delta = a-b
とおくと、
$(\alpha+\beta+\gamma+\delta)\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}$
=(α+β+γ+δ)(aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh)= (\alpha+\beta+\gamma+\delta)(aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh)
=(α+β+γ+δ)[(α−β)(α−γ)(α−δ)+(δ−β)(β−δ)(γ−δ)+(γ−β)(δ−γ)(β−δ)−(γ−β)(α−γ)(γ−δ)−(δ−β)(δ−γ)(α−δ)−(α−β)(β−γ)(β−δ)]= (\alpha+\beta+\gamma+\delta)[(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)+(\delta-\beta)(\beta-\delta)(\gamma-\delta)+(\gamma-\beta)(\delta-\gamma)(\beta-\delta) -(\gamma-\beta)(\alpha-\gamma)(\gamma-\delta)-(\delta-\beta)(\delta-\gamma)(\alpha-\delta)-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\beta-\delta)]
=(α+β+γ+δ)(α−β−γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)= (\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)
=(α+β+γ+δ)(α−β−γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)= (\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)
=(α+β+γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)(α−β−γ+δ)= (\alpha+\beta+\gamma+\delta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha+\beta-\gamma-\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)
(α+β+γ+δ)(α−β−γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)(\alpha + \beta + \gamma + \delta)(\alpha - \beta - \gamma + \delta)(\alpha - \beta + \gamma - \delta)(\alpha + \beta - \gamma - \delta)

3. 最終的な答え

(α+β+γ+δ)(α−β−γ+δ)(α−β+γ−δ)(α+β−γ−δ)(\alpha + \beta + \gamma + \delta)(\alpha - \beta - \gamma + \delta)(\alpha - \beta + \gamma - \delta)(\alpha + \beta - \gamma - \delta)

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