縦8m、横12mの長方形の土地に、同じ幅$a$の道を縦横に作り、残りを花壇にする。花壇の面積が60㎡になるようにするには、道幅$a$をいくらにすれば良いか。

1. 問題の内容

縦8m、横12mの長方形の土地に、同じ幅$a$の道を縦横に作り、残りを花壇にする。花壇の面積が60㎡になるようにするには、道幅$a$をいくらにすれば良いか。

2. 解き方の手順

長方形の土地全体の面積は $8 \times 12 = 96$ ㎡である。

道の幅を $a$ とすると、花壇の面積は $(8-a)(12-a)$ で表される。

花壇の面積が60㎡なので、

$(8-a)(12-a) = 60$

$96 - 8a - 12a + a^2 = 60$

$a^2 - 20a + 96 = 60$

$a^2 - 20a + 36 = 0$

解の公式を用いると、$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。この場合、$a=1$, $b=-20$, $c=36$なので、

$a = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \times 1 \times 36}}{2 \times 1}$

$a = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 144}}{2}$

$a = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{2}$

$a = \frac{20 \pm 16}{2}$

$a = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$a = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a$ は道の幅なので、 $a < 8$ かつ $a < 12$ でなければならない。

$a = 18$ は条件を満たさないので、 $a = 2$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

2m