与えられた条件を満たすように、定数 $a$, $b$ の値を求める。 (1) $x^3 - 3x^2 + a$ を $x - 1$ で割ると $2$ 余る。 (2) $2x^3 - 3x^2 + ax + 6$ が $2x + 1$ で割り切れる。 (3) $x^3 + ax^2 - 5x + b$ が $x + 2$ で割り切れ、$x + 1$ で割ると $8$ 余る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たすように、定数 $a$, $b$ の値を求める。

(1) $x^3 - 3x^2 + a$ を $x - 1$ で割ると $2$ 余る。

(2) $2x^3 - 3x^2 + ax + 6$ が $2x + 1$ で割り切れる。

(3) $x^3 + ax^2 - 5x + b$ が $x + 2$ で割り切れ、$x + 1$ で割ると $8$ 余る。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$x^3 - 3x^2 + a$ を $x - 1$ で割った余りは、$x = 1$ を代入した値である。

したがって、

$1^3 - 3(1^2) + a = 1 - 3 + a = a - 2$

これが $2$ に等しいので、

$a - 2 = 2$

$a = 4$

(2) $2x^3 - 3x^2 + ax + 6$ が $2x + 1$ で割り切れるということは、$2x + 1 = 0$ すなわち $x = -\frac{1}{2}$ を代入すると $0$ になる。

したがって、

$2(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2})^2 + a(-\frac{1}{2}) + 6 = 0$

$2(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) - \frac{a}{2} + 6 = 0$

$-\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{a}{2} + 6 = 0$

$-1 - \frac{a}{2} + 6 = 0$

$5 - \frac{a}{2} = 0$

$\frac{a}{2} = 5$

$a = 10$

(3) $x^3 + ax^2 - 5x + b$ が $x + 2$ で割り切れるので、$x = -2$ を代入すると $0$ になる。

$(-2)^3 + a(-2)^2 - 5(-2) + b = 0$

$-8 + 4a + 10 + b = 0$

$4a + b + 2 = 0$

$4a + b = -2$

また、$x^3 + ax^2 - 5x + b$ を $x + 1$ で割ると $8$ 余るので、$x = -1$ を代入すると $8$ になる。

$(-1)^3 + a(-1)^2 - 5(-1) + b = 8$

$-1 + a + 5 + b = 8$

$a + b + 4 = 8$

$a + b = 4$

連立方程式

$4a + b = -2$

$a + b = 4$

を解く。

上の式から下の式を引くと

$3a = -6$

$a = -2$

$a + b = 4$ に代入して

$-2 + b = 4$

$b = 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $a = 10$

(3) $a = -2$, $b = 6$