多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $3$、$x+3$ で割ると余りが $-7$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $3$、$x+3$ で割ると余りが $-7$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。すると、ある多項式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが $3$ であるから、$P(2) = 3$ である。

$x = 2$ を代入すると、

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 3$

$P(x)$ を $x+3$ で割ったときの余りが $-7$ であるから、$P(-3) = -7$ である。

$x = -3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) + (-3)a + b = -3a + b = -7$

よって、

$2a + b = 3$

$-3a + b = -7$

という連立方程式を得る。

上の式から下の式を引くと、

$5a = 10$

$a = 2$

$2a + b = 3$ に $a = 2$ を代入すると、

$2(2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = -1$

したがって、求める余りは $2x - 1$ となる。

3. 最終的な答え

$2x - 1$