2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 2$ の $-1 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 2$ の $-1 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 6x - 2$

$y = -2(x^2 - 3x) - 2$

$y = -2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{9}{4}\right) - 2$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} - \frac{4}{2}$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$

この式から、頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ であることがわかります。

上に凸のグラフであり、軸は $x = \frac{3}{2}$ です。

次に、定義域 $-1 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値を調べます。

軸 $x = \frac{3}{2}$ は定義域に含まれているので、頂点での値が最大値の候補となります。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = \frac{5}{2}$

次に、定義域の端点での値を調べます。

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + 6(-1) - 2 = -2 - 6 - 2 = -10$

$x = 3$ のとき、$y = -2(3)^2 + 6(3) - 2 = -18 + 18 - 2 = -2$

したがって、最大値は $x = \frac{3}{2}$ のとき $y = \frac{5}{2}$ であり、

最小値は $x = -1$ のとき $y = -10$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$x = \frac{3}{2}$ のとき $y = \frac{5}{2}$

最小値：$x = -1$ のとき $y = -10$