(1) ある規則に従って棒を並べていくとき、棒の本数が全部で26本になるのは何番目か。 (2) $n$番目の棒の本数を$n$を用いて表す方法を説明せよ。

1. 問題の内容

(1) ある規則に従って棒を並べていくとき、棒の本数が全部で26本になるのは何番目か。

(2) $n$番目の棒の本数を$n$を用いて表す方法を説明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、各番目の棒の本数を数える。

1番目：3本

2番目：5本

3番目：7本

...

これは、奇数の数列になっていることがわかる。つまり、n番目の棒の本数は$2n+1$本である。

棒の本数が全部で26本になる番目を$x$とすると、$2x + 1 = 26$となる。

$2x = 25$

$x = 12.5$

$x$は整数でなければならないので、少し考え方を変える必要がある。

棒の本数の数列は、初項3、公差2の等差数列と見なせる。

$n$番目の棒の本数は、$3 + (n-1) * 2 = 2n + 1$となる。

$k$番目までの棒の本数の合計が26本になるような$k$を求める。

等差数列の和の公式を用いる。

$S_k = \frac{k}{2} * (初項 + 末項)$

$S_k = \frac{k}{2} * (3 + (2k+1)) = \frac{k}{2} * (2k + 4) = k(k+2)$

$k(k+2) = 26$

$k^2 + 2k - 26 = 0$

しかし、これは整数解を持たない。問題文をよく読むと、「棒の本数が全部で26本になるのは」と書いてあるので、和ではなく、ある$n$番目の棒の本数が26本になるという意味ではない。

1番目から順に本数を足し上げていく。

1番目: 3

2番目: 3 + 5 = 8

3番目: 3 + 5 + 7 = 15

4番目: 15 + 9 = 24

5番目: 24 + 11 = 35

問題文は、各番目の棒の本数の合計が26本になるのか、もしくは、ある番目の棒の本数が26本になるのか、どちらの意味にもとれる。数列の和が26になるケースは、式からしてあり得ないので、ある$n$番目の棒の本数が26本になるという意味ではない。

各番目の棒の本数は$2n+1$なので、これが26になるとすると、$2n+1 = 26$, $2n = 25$, $n = 12.5$となり、これはあり得ない。問題文の解釈がおかしい。

1番目、2番目、3番目...と棒を並べていった時、各ステップにおける棒の総数が26になるようなステップは存在しない。

おそらく問題に誤りがある。

(2)

幹太さんの考え方は、n番目の棒の本数を表すために、nを用いてどのように表現するかを説明するというもの。

右の図を見ると、n番目には縦棒が1本、Xがn個並んでいることがわかる。X1個は棒2本で作られているため、n番目の棒の本数は$1 + 2n$で表せる。したがって、幹太さんの考えたn番目の棒の本数の表し方は、$2n + 1$である。

3. 最終的な答え

(1) 問題に誤りがあるため、該当する番目は存在しない。

(2) $2n + 1$