与えられた行列式の値を$a_n$とおく。$a_1 = 2$であり、$n \geq 2$のとき、 $a_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ (1) $a_2, a_3, a_4$の値を求めよ。 (2) $a_n$を$a_{n-1}, a_{n-2}$を用いて表せ。 (3) $a_n$を$n$を用いて表せ。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を$a_n$とおく。$a_1 = 2$であり、$n \geq 2$のとき、

$a_n = \begin{vmatrix}

2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\

1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2

\end{vmatrix}$

(1) $a_2, a_3, a_4$の値を求めよ。

(2) $a_n$を$a_{n-1}, a_{n-2}$を用いて表せ。

(3) $a_n$を$n$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3, a_4$を計算します。

$a_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 4 - 1 = 3$

$a_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(4-1) - 1(2-0) + 0 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

$a_4 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 a_3 - 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4) - (4-1) = 8-3 = 5$

(2) $a_n$を第1行で展開すると、

$a_n = 2 a_{n-1} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 a_{n-1} - a_{n-2}$

したがって、$a_n = 2 a_{n-1} - a_{n-2}$

(3) (2)で求めた漸化式を解きます。

$a_n = 2 a_{n-1} - a_{n-2}$

$a_n - a_{n-1} = a_{n-1} - a_{n-2}$

これは等差数列なので、

$a_n - a_{n-1} = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$a_n = a_{n-1} + 1$

これは等差数列なので、

$a_n = a_1 + (n-1) \times 1 = 2 + n - 1 = n + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 3, a_3 = 4, a_4 = 5$

(2) $a_n = 2 a_{n-1} - a_{n-2}$

(3) $a_n = n + 1$