行列式 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} $ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用して、計算を簡単にする。

第1列を第2列、第3列から引く。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3 \end{vmatrix}$

次に、(1,1)成分が1なので、余因子展開を行う。

$\begin{vmatrix} b-a & c-a \\ b^3-a^3 & c^3-a^3 \end{vmatrix}$

$b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab + a^2)$

$c^3 - a^3 = (c-a)(c^2 + ac + a^2)$

より、

$(b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ b^2+ab+a^2 & c^2+ac+a^2 \end{vmatrix}$

となる。

行列式を展開すると、

$(b-a)(c-a)(c^2 + ac + a^2 - b^2 - ab - a^2)$

$(b-a)(c-a)(c^2 - b^2 + ac - ab)$

$(b-a)(c-a)((c-b)(c+b) + a(c-b))$

$(b-a)(c-a)(c-b)(c+b+a)$

$(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$