$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ とするとき、以下の問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ とするとき、以下の問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2}-\sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{(3\sqrt{2}-\sqrt{10})(3\sqrt{2}+\sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{18-10} = \frac{4(3\sqrt{2}+\sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}+\sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{10})(3\sqrt{2}-\sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{18-10} = \frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}+3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 9 \cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

$(a^2 + \frac{4}{a^2})^2 = a^4 + 2 \cdot a^2 \cdot \frac{4}{a^2} + \frac{16}{a^4} = a^4 + 8 + \frac{16}{a^4}$

$a^4 + \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})^2 - 8 = 14^2 - 8 = 196 - 8 = 188$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^4 + \frac{16}{a^4}) - 2 \cdot \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} -1 - \frac{32}{a^4} = a^4 + \frac{16}{a^4} - \frac{32}{a^4} - \frac{8}{a^2} - a^4$

また、$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} + 7 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 -1 - \frac{8}{a^2}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$\frac{4}{a^2} = \frac{4}{7+3\sqrt{5}} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{4(7-3\sqrt{5})}{4} = 7-3\sqrt{5}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (7+3\sqrt{5}) - (7-3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$

$(a^2 - \frac{4}{a^2})^2 = (6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$

$\frac{8}{a^2} = 8(7-3\sqrt{5})/4=14 - 6 \sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 =180 - \frac{8}{a^2} - 1 = 180 - (14 - 6 \sqrt{5}) - 1= 180 - 15 + 6 \sqrt{5} = 165 + 6 \sqrt{5}$

しかし、$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$を $(a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - 1$と考えると誤り。

$(a^2 - \frac{4}{a^2} )^2 = a^4 -8 + \frac{16}{a^4}$, そのため $a^4 + \frac{16}{a^4}= (a^2 - \frac{4}{a^2})^2+8$.

したがって$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ $= a^4 - \frac{16}{a^4} -(\frac{8}{a^2}+1 ) =( 180-8 )- (14-6 \sqrt{5}) - 1=( 172-15) +6 \sqrt{5}=157+ 6 \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$、 $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4 - \frac{16}{a^4} - (\frac{8}{a^2} + 1) = 157+6\sqrt5$

$a^4-\frac{16}{a^4}-\frac{8}{a^2}-1=(a^2+\frac{4}{a^2})(a^2-\frac{4}{a^2})-(\frac{8}{a^2}+1)

=14(6\sqrt5)-(\frac{8}{7+3\sqrt5}+1)

=84\sqrt5-((14-6\sqrt5)+1)

=84\sqrt5-(15-6\sqrt5)=84\sqrt5-15+6\sqrt5=90\sqrt5-15$

したがって $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1=-15+90\sqrt{5}$

$157 +6 \sqrt{5}$