与えられた2次関数 $f(x) = -2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k$ について、以下の問いに答えます。 (1) $k=2$ のとき、$f(x) \ge 0$ となる $x$ の範囲を求めます。 (2) $f(x)$ のグラフの頂点が放物線 $y=x^2+1$ 上にあるとき、$k$ の値を求め、そのときの $f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が $x < -1$ を満たす異なる2つの解を持つような $k$ の範囲を求めます。 (4) $0 \le k \le 4$ とするとき、$-2 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とすると、$M = -m$ となるような $k$ の値を、小さい方から順に求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = -2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k$ について、以下の問いに答えます。

(1) $k=2$ のとき、$f(x) \ge 0$ となる $x$ の範囲を求めます。

(2) $f(x)$ のグラフの頂点が放物線 $y=x^2+1$ 上にあるとき、$k$ の値を求め、そのときの $f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が $x < -1$ を満たす異なる2つの解を持つような $k$ の範囲を求めます。

(4) $0 \le k \le 4$ とするとき、$-2 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とすると、$M = -m$ となるような $k$ の値を、小さい方から順に求めます。

2. 解き方の手順

(1) $k=2$ のとき、$f(x) = -2x^2 - 4x - 2 + 2 = -2x^2 - 4x = -2x(x+2)$。

$f(x) \ge 0$ となるのは、$-2x(x+2) \ge 0$、つまり $x(x+2) \le 0$ のとき。

したがって、$-2 \le x \le 0$。

(2) $f(x) = -2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k = -2(x^2 + kx) - \frac{k^2}{2} + k = -2(x + \frac{k}{2})^2 + 2(\frac{k}{2})^2 - \frac{k^2}{2} + k = -2(x + \frac{k}{2})^2 + \frac{k^2}{2} - \frac{k^2}{2} + k = -2(x + \frac{k}{2})^2 + k$。

頂点の座標は $(-\frac{k}{2}, k)$。

これが $y = x^2 + 1$ 上にあるので、$k = (-\frac{k}{2})^2 + 1 = \frac{k^2}{4} + 1$。

$k^2 - 4k + 4 = 0$ となり、$(k-2)^2 = 0$ なので、$k=2$。

頂点の座標は $(-\frac{2}{2}, 2) = (-1, 2)$。

(3) $f(x) = 0$ より $-2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k = 0$。

$2x^2 + 2kx + \frac{k^2}{2} - k = 0$。

$4x^2 + 4kx + k^2 - 2k = 0$。

解は $x = \frac{-4k \pm \sqrt{16k^2 - 16(k^2 - 2k)}}{8} = \frac{-4k \pm \sqrt{32k}}{8} = \frac{-k \pm \sqrt{2k}}{2}$。

$x < -1$ より $\frac{-k \pm \sqrt{2k}}{2} < -1$。

$-k \pm \sqrt{2k} < -2$。

$\sqrt{2k} < k - 2$。

$2k < (k-2)^2 = k^2 - 4k + 4$。

$k^2 - 6k + 4 > 0$。

$k = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$。

$k < 3 - \sqrt{5}$ または $k > 3 + \sqrt{5}$。

また、$k-2>0$ より $k > 2$ である必要があるので、$k>3+\sqrt{5}$。

$k<3-\sqrt{5}$と$k>3+\sqrt{5}$の時、2つの異なる解を持つ必要があるので、$k>0$が必要。

$\frac{-k - \sqrt{2k}}{2} < -1$ かつ $\frac{-k + \sqrt{2k}}{2} < -1$ でなければならない。$k > 3+\sqrt{5}$の時、成り立つ。

よって、$k>3+\sqrt{5}$。

(4) $f(x) = -2(x + \frac{k}{2})^2 + k$。

$-2 \le x \le 0$ で、$0 \le k \le 4$。

軸は $x = -\frac{k}{2}$ なので、$-2 \le -\frac{k}{2} \le 0$ で、$0 \le k \le 4$ より $-2 \le -\frac{k}{2} \le 0$ を満たす。

最大値 $M = f(-\frac{k}{2}) = k$。

最小値は、$f(-2) = -2(-2)^2 - 2k(-2) - \frac{k^2}{2} + k = -8 + 4k - \frac{k^2}{2} + k = -8 + 5k - \frac{k^2}{2}$ または $f(0) = k$。

$m = \min(f(-2), f(0)) = \min(-8 + 5k - \frac{k^2}{2}, k)$。

$M = -m$ より、$k = - \min(-8 + 5k - \frac{k^2}{2}, k)$。

(i) $k = -(-8 + 5k - \frac{k^2}{2})$ のとき、$k = 8 - 5k + \frac{k^2}{2}$。

$2k = 16 - 10k + k^2$。

$k^2 - 12k + 16 = 0$。

$k = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$。

$0 \le k \le 4$ より、$k = 6 - 2\sqrt{5} \approx 6 - 2 \cdot 2.236 = 6 - 4.472 = 1.528$。

(ii) $k = -k$ のとき、$2k=0$ より、$k=0$。

$-8 + 5k - \frac{k^2}{2} \le k$ のとき、$k = 6 - 2\sqrt{5}$ が小さい方の解。

$0$ と $6-2\sqrt{5}$ を小さい順に並べる。

$0 < 6-2\sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

7: エ. $-2 \le x \le 0$

8: イ. $2$

9: ア. $(-1, 2)$

10: エ. $k > 3 + \sqrt{5}$

11: ア. $0$

12: ウ. $6 - 2\sqrt{5}$