$x$ の方程式 $|x^2 - x - 2| = x - k$ の異なる実数解の個数を、定数 $k$ の値によって分類して調べる。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $|x^2 - x - 2| = x - k$ の異なる実数解の個数を、定数 $k$ の値によって分類して調べる。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフを描く。次に、$y = x - k$ のグラフを描き、これらが何個の交点を持つかを $k$ の値によって分類して考える。

$y = |x^2 - x - 2|$ を考える。まず、$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ であるから、$x^2 - x - 2 = 0$ の解は $x = -1, 2$ である。したがって、$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフは、$y = x^2 - x - 2$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返したものである。

$y = x - k$ は傾きが 1、y 切片が $-k$ の直線である。$k$ の値を変化させながら、2つのグラフの交点の個数を調べる。

$x^2 - x - 2 = 0$ の頂点の $x$ 座標は $x = \frac{1}{2}$ であり、そのときの $y$ 座標は $y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$ である。

したがって、$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフの頂点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ である。

$x^2 - x - 2 = x - k$ を解くと、

$x^2 - 2x - 2 + k = 0$ である。この判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = (-2)^2 - 4(1)(-2+k) = 4 - 4(-2+k) = 4 + 8 - 4k = 12 - 4k$ である。

$D_1 > 0$ のとき、$12 - 4k > 0$ より $k < 3$ である。このとき、2つの解を持つ。

$D_1 = 0$ のとき、$k = 3$ であり、1つの解を持つ。

$D_1 < 0$ のとき、$k > 3$ であり、解を持たない。

$-(x^2 - x - 2) = x - k$ を解くと、

$-x^2 + x + 2 = x - k$ より、$x^2 = 2 + k$ である。

$x = \pm \sqrt{2+k}$ である。この解が存在するためには、$2 + k \geq 0$ でなければならない。すなわち、$k \geq -2$ である。$x = -\sqrt{2+k}$ は常に $-1$ より小さい。$x = \sqrt{2+k}$ は常に$-1$ より大きい。

$x = 2$ のとき、$y = 2 - k$ であり、$|x^2 - x - 2| = 0$ であるので、$2 - k = 0$ より、$k = 2$ である。

$x = -1$ のとき、$y = -1 - k$ であり、$|x^2 - x - 2| = 0$ であるので、$-1 - k = 0$ より、$k = -1$ である。

よって、

$k < -2$ のとき、0個

$k = -2$ のとき、1個

$-2 < k < -1$ のとき、2個

$k = -1$ のとき、3個

$-1 < k < 2$ のとき、4個

$k = 2$ のとき、3個

$2 < k < 3$ のとき、2個

$k = 3$ のとき、1個

$k > 3$ のとき、0個

3. 最終的な答え

$k < -2$ のとき、解は0個

$k = -2$ のとき、解は1個

$-2 < k < -1$ のとき、解は2個

$k = -1$ のとき、解は3個

$-1 < k < 2$ のとき、解は4個

$k = 2$ のとき、解は3個

$2 < k < 3$ のとき、解は2個

$k = 3$ のとき、解は1個

$k > 3$ のとき、解は0個