2次方程式 $x^2 - 2x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作成する。 (1) $-\alpha$, $-\beta$ (2) $\alpha+2$, $\beta+2$ (3) $\alpha^2 - 3\alpha$, $\beta^2 - 3\beta$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作成する。

(1) $-\alpha$, $-\beta$

(2) $\alpha+2$, $\beta+2$

(3) $\alpha^2 - 3\alpha$, $\beta^2 - 3\beta$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、解と係数の関係は以下のようになる。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $x^2 - 2x + 7 = 0$ について、$\alpha + \beta = 2$、$\alpha\beta = 7$ が成り立つ。

(1) $-\alpha$, $-\beta$ を解とする2次方程式を求める。

解の和は $-\alpha + (-\beta) = -(\alpha + \beta) = -2$

解の積は $(-\alpha)(-\beta) = \alpha\beta = 7$

したがって、解と係数の関係から、求める2次方程式は

$x^2 - (-2)x + 7 = 0$

$x^2 + 2x + 7 = 0$

(2) $\alpha+2$, $\beta+2$ を解とする2次方程式を求める。

解の和は $(\alpha + 2) + (\beta + 2) = (\alpha + \beta) + 4 = 2 + 4 = 6$

解の積は $(\alpha + 2)(\beta + 2) = \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4 = 7 + 2(2) + 4 = 7 + 4 + 4 = 15$

したがって、解と係数の関係から、求める2次方程式は

$x^2 - 6x + 15 = 0$

(3) $\alpha^2 - 3\alpha$, $\beta^2 - 3\beta$ を解とする2次方程式を求める。

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - 2x + 7 = 0$ の解であるから、

$\alpha^2 - 2\alpha + 7 = 0$ より $\alpha^2 = 2\alpha - 7$

$\beta^2 - 2\beta + 7 = 0$ より $\beta^2 = 2\beta - 7$

$\alpha^2 - 3\alpha = (2\alpha - 7) - 3\alpha = -\alpha - 7$

$\beta^2 - 3\beta = (2\beta - 7) - 3\beta = -\beta - 7$

解の和は $(-\alpha - 7) + (-\beta - 7) = -(\alpha + \beta) - 14 = -2 - 14 = -16$

解の積は $(-\alpha - 7)(-\beta - 7) = \alpha\beta + 7(\alpha + \beta) + 49 = 7 + 7(2) + 49 = 7 + 14 + 49 = 70$

したがって、解と係数の関係から、求める2次方程式は

$x^2 - (-16)x + 70 = 0$

$x^2 + 16x + 70 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2x + 7 = 0$

(2) $x^2 - 6x + 15 = 0$

(3) $x^2 + 16x + 70 = 0$