与えられた5つの式について、分母を有理化し、計算を行い、簡単な形に整理してください。

1. 問題の内容

与えられた5つの式について、分母を有理化し、計算を行い、簡単な形に整理してください。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{(9-2\sqrt{3})\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}-2(\sqrt{3})^2}{3} = \frac{9\sqrt{3}-2(3)}{3} = \frac{9\sqrt{3}-6}{3}$

各項を3で割ります。

$\frac{9\sqrt{3}}{3} - \frac{6}{3} = 3\sqrt{3} - 2$

(2) $\frac{4+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{(4+3\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}+3(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{4\sqrt{2}+3(2)}{2} = \frac{4\sqrt{2}+6}{2}$

各項を2で割ります。

$\frac{4\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{2} = 2\sqrt{2} + 3$

(3) $\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{(2\sqrt{2}-\sqrt{6})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{2})^2 - \sqrt{6}\sqrt{2}}{2} = \frac{2(2) - \sqrt{12}}{2} = \frac{4 - \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

各項を2で割ります。

$\frac{4}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

(4) $\frac{5\sqrt{3}-3\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{15}$をかけます。

$\frac{(5\sqrt{3}-3\sqrt{5})\sqrt{15}}{\sqrt{15}\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{3}\sqrt{15} - 3\sqrt{5}\sqrt{15}}{15} = \frac{5\sqrt{45} - 3\sqrt{75}}{15}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\frac{5(3\sqrt{5}) - 3(5\sqrt{3})}{15} = \frac{15\sqrt{5} - 15\sqrt{3}}{15}$

各項を15で割ります。

$\frac{15\sqrt{5}}{15} - \frac{15\sqrt{3}}{15} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

(5) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{2(2)} = \frac{\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3} + 2}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{4}$

各項を2で割ります。

$\frac{2\sqrt{3}}{4} + \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{3} - 2$

(2) $2\sqrt{2} + 3$

(3) $2 - \sqrt{3}$

(4) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$

(5) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$