与えられた式 $x^6 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^6 + 1$ を $(x^2)^3 + 1^3$ と見て、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

ここで、$a = x^2$、$b = 1$ とすると、

$x^6 + 1 = (x^2 + 1)((x^2)^2 - (x^2)(1) + 1^2) = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$

次に、$x^4 - x^2 + 1$ の部分を因数分解することを考えます。 $x^4 - x^2 + 1$ に $x^2$ を足して引き、平方の差の形にします。

$x^4 - x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

ここで、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用すると、

$(x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2 = (x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$

したがって、$x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$となります。

しかし、$x^6+1$は以下のように変形することもできます。

$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$

$x^6 + 1 = (x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2 - (\sqrt{3}x)^2) = (x^2+1)(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x) = (x^2+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)$

もしくは

$x^6 + 1 = (x^3)^2 + 1 = (x^3)^2 + 2x^3 + 1 - 2x^3 = (x^3+1)^2 - 2x^3$

これは因数分解できません。

$x^6 + 1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$から

$x^6+1 = (x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2-3x^2)=(x^2+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)$

$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$からさらに進めて

$x^6+1 = (x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$という因数分解も可能です。

$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2)=(x^2+1)((x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2)=(x^2+1)(x^2+1+\sqrt{3}x)(x^2+1-\sqrt{3}x)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$または $(x^2+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)$