(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。問題文に沿って、各問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

1. $n$ を自然数とするとき、次の2x2行列 $A$ に対して、$A^n$ を求めよ。ここで、$a$ は実数とする。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$

2. 次の条件を満たす1次変換が存在するならば、対応する行列を求めよ。

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ にうつす。

(2) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ にうつす。

3. 次の写像 $f$ は1次変換かどうか判定せよ。1次変換ならば対応する行列を求めよ。

(1) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$, $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x+1 \\ y-1 \end{pmatrix}$, $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(3) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}$, $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(4) $f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$, $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

4. $2 \times 2$ 回転行列 $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ に対して、等式 $R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ を示せ。

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2. 解き方の手順**

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1. (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の場合**

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

帰納的に $A^n = \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と推測できる。

これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$A^1 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ で成立。

(ii) $n=k$ のとき $A^k = \begin{pmatrix} 1 & ka \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が成立すると仮定する。

$A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} 1 & ka \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & (k+1)a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

よって $n=k+1$ のときも成立する。

したがって、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

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1. (2) $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ の場合**

$A = aI + B$ とおく。ここで $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は単位行列、$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^n = (aI + B)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (aI)^{n-k} B^k = (aI)^n + n(aI)^{n-1}B = a^n I + n a^{n-1} B$

$A^n = a^n \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + n a^{n-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^n & n a^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$

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2. (1) の場合**

求める行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ より $2a - b = -2$ かつ $2c - d = -3$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ より $a + 3b = 5$ かつ $c + 3d = 4$

これらの連立方程式を解く。

$2a-b = -2$, $a+3b = 5$ より $b = \frac{9}{7}$, $a = \frac{-5+3}{7}$

$2c-d = -3$, $c+3d = 4$ より $d = \frac{10}{7}$, $c = \frac{-9+4}{7} = \frac{-5}{7}$

$A = \begin{pmatrix} -1/7 & 9/7 \\ -5/7 & 10/7 \end{pmatrix}$

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2. (2) の場合**

求める行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ より $2a - b = 1$ かつ $2c - d = 4$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ より $-4a + 2b = 2$ かつ $-4c + 2d = -1$

$-4a+2b = 2$ は $2a-b = -1$ となるので、$2a-b=1$と矛盾するので、求める行列は存在しない。

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3. (1) の場合**

$f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

よって1次変換であり、対応する行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

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3. (2) の場合**

$f(\vec{0}) = \begin{pmatrix} 0+1 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって1次変換ではない。

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3. (3) の場合**

$f(c\vec{x}) = \begin{pmatrix} c^2xy \\ cy \end{pmatrix}$

$cf(\vec{x}) = \begin{pmatrix} cxy \\ cy \end{pmatrix}$

$f(c\vec{x}) \neq cf(\vec{x})$ なので1次変換ではない。

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3. (4) の場合**

$f(c\vec{x}) = \begin{pmatrix} c^2x^2 \\ cy \end{pmatrix}$

$cf(\vec{x}) = \begin{pmatrix} cx^2 \\ cy \end{pmatrix}$

$f(c\vec{x}) \neq cf(\vec{x})$ なので1次変換ではない。

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4. の場合**

$R(\theta_1) = \begin{pmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 \end{pmatrix}$

$R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 \end{pmatrix}$

$R(\theta_1)R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos\theta_1 \cos\theta_2 - \sin\theta_1 \sin\theta_2 & -\cos\theta_1 \sin\theta_2 - \sin\theta_1 \cos\theta_2 \\ \sin\theta_1 \cos\theta_2 + \cos\theta_1 \sin\theta_2 & -\sin\theta_1 \sin\theta_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2 \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$R(\theta_1)R(\theta_2) = \begin{pmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix} = R(\theta_1+\theta_2)$

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3. 最終的な答え**

1. (1) $\begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} a^n & n a^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$

2. (1) $\begin{pmatrix} -1/7 & 9/7 \\ -5/7 & 10/7 \end{pmatrix}$

(2) 存在しない

3. (1) 1次変換であり、$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) 1次変換ではない

(3) 1次変換ではない

(4) 1次変換ではない

4. $R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1+\theta_2)$ が示された。