因数定理を用いて、式が0になる$x$の値をまず探します。定数項の約数（±1, ±2, ±3, ±6）を代入して試します。 $x = -1$を代入すると、$(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$となります。 したがって、$x + 1$ は与式の因数です。

## 問題の内容

与えられた二つの3次式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 4x^2 + x + 6$

(2) $2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$

## 解き方の手順

### (1) $x^3 - 4x^2 + x + 6$

1. **因数定理の利用**:

因数定理を用いて、式が0になる$x$の値をまず探します。定数項の約数（±1, ±2, ±3, ±6）を代入して試します。

$x = -1$を代入すると、$(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$となります。

したがって、$x + 1$ は与式の因数です。

2. **組み立て除法**:

組み立て除法を用いて、与式を$x + 1$で割ります。

```

-1 | 1 -4 1 6

| -1 5 -6

----------------

1 -5 6 0

```

したがって、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)$となります。

3. **二次式の因数分解**:

二次式$x^2 - 5x + 6$を因数分解します。これは、$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$と因数分解できます。

4. **最終的な因数分解**:

以上の結果から、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3)$となります。

### (2) $2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$

1. **因数定理の利用**:

定数項の約数（±1, ±2, ±4）を最高次の係数で割った値（±1/2, ±1, ±2, ±4）を代入して試します。$x = -1/2$ を代入すると、$2(-1/2)^3 - 5(-1/2)^2 + 5(-1/2) + 4 = 2(-1/8) - 5(1/4) - 5/2 + 4 = -1/4 - 5/4 - 10/4 + 16/4 = 0$となります。したがって、$x + 1/2$は与式の因数です。言い換えると、$2x + 1$ も因数です。

2. **組み立て除法**:

組み立て除法を用いるか、あるいは直接割り算を行います。今回は組み立て除法を用いて、$2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$を$x + 1/2$で割ります。

```

-1/2 | 2 -5 5 4

| -1 3 -4

----------------

2 -6 8 0

```

したがって、$2x^3 - 5x^2 + 5x + 4 = (x + \frac{1}{2})(2x^2 - 6x + 8) = (2x + 1)(x^2 - 3x + 4)$ となります。

3. **二次式の判別**:

$x^2 - 3x + 4$ の判別式を計算します。$D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$ となります。

判別式が負なので、この二次式は実数の範囲では因数分解できません。

4. **最終的な因数分解**:

以上の結果から、$2x^3 - 5x^2 + 5x + 4 = (2x + 1)(x^2 - 3x + 4)$となります。

## 最終的な答え

(1) $(x + 1)(x - 2)(x - 3)$

(2) $(2x + 1)(x^2 - 3x + 4)$