ベクトル $\vec{a} = (3, -1)$ と $\vec{b} = (-4, 2)$ が与えられたとき、以下のベクトルの成分表示を求める問題です。 (1) $2\vec{a}$ (2) $-\vec{b}$ (3) $\frac{1}{4}\vec{b}$ (4) $3\vec{a} + 2\vec{b}$ (5) $4\vec{a} - 3\vec{b}$ (6) $2(-3\vec{a} + \vec{b})$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -1)$ と $\vec{b} = (-4, 2)$ が与えられたとき、以下のベクトルの成分表示を求める問題です。

(1) $2\vec{a}$

(2) $-\vec{b}$

(3) $\frac{1}{4}\vec{b}$

(4) $3\vec{a} + 2\vec{b}$

(5) $4\vec{a} - 3\vec{b}$

(6) $2(-3\vec{a} + \vec{b})$

2. 解き方の手順

(1) $2\vec{a}$

ベクトルのスカラー倍の計算を行います。

$2\vec{a} = 2(3, -1) = (2 \times 3, 2 \times -1) = (6, -2)$

(2) $-\vec{b}$

ベクトルの符号反転を行います。

$-\vec{b} = -(-4, 2) = (-(-4), -2) = (4, -2)$

(3) $\frac{1}{4}\vec{b}$

ベクトルのスカラー倍の計算を行います。

$\frac{1}{4}\vec{b} = \frac{1}{4}(-4, 2) = (\frac{1}{4} \times -4, \frac{1}{4} \times 2) = (-1, \frac{1}{2})$

(4) $3\vec{a} + 2\vec{b}$

ベクトルのスカラー倍と足し算を行います。

$3\vec{a} = 3(3, -1) = (9, -3)$

$2\vec{b} = 2(-4, 2) = (-8, 4)$

$3\vec{a} + 2\vec{b} = (9, -3) + (-8, 4) = (9 - 8, -3 + 4) = (1, 1)$

(5) $4\vec{a} - 3\vec{b}$

ベクトルのスカラー倍と引き算を行います。

$4\vec{a} = 4(3, -1) = (12, -4)$

$3\vec{b} = 3(-4, 2) = (-12, 6)$

$4\vec{a} - 3\vec{b} = (12, -4) - (-12, 6) = (12 - (-12), -4 - 6) = (12 + 12, -10) = (24, -10)$

(6) $2(-3\vec{a} + \vec{b})$

ベクトルのスカラー倍と足し算を行います。

$-3\vec{a} = -3(3, -1) = (-9, 3)$

$-3\vec{a} + \vec{b} = (-9, 3) + (-4, 2) = (-9 - 4, 3 + 2) = (-13, 5)$

$2(-3\vec{a} + \vec{b}) = 2(-13, 5) = (2 \times -13, 2 \times 5) = (-26, 10)$

3. 最終的な答え

(1) $(6, -2)$

(2) $(4, -2)$

(3) $(-1, \frac{1}{2})$

(4) $(1, 1)$

(5) $(24, -10)$

(6) $(-26, 10)$