与えられた等式 $3x^2 - 5x + 7 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $3x^2 - 5x + 7 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式が恒等式であるためには、両辺の $x$ の次数ごとの係数が一致する必要があります。まず、右辺を展開します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$

したがって、$3x^2 - 5x + 7 = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$ となります。

$x^2$ の係数を比較すると、$a = 3$。

$x$ の係数を比較すると、$-5 = -2a + b$。$a = 3$ を代入すると、$-5 = -2(3) + b$。したがって、$b = -5 + 6 = 1$。

定数項を比較すると、$7 = a - b + c$。$a = 3, b = 1$ を代入すると、$7 = 3 - 1 + c$。したがって、$c = 7 - 3 + 1 = 5$。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 1$

$c = 5$