以下の4つの3次式を因数分解します。 (1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$ (2) $x^3 - x^2 - 8x + 12$ (3) $2x^3 + 9x^2 + 13x + 6$ (4) $3x^3 - 8x^2 - 15x - 4$

代数学因数分解多項式三次式組み立て除法
2025/7/9
はい、承知いたしました。問題の因数分解を行います。

1. 問題の内容

以下の4つの3次式を因数分解します。
(1) x32x2x+2x^3 - 2x^2 - x + 2
(2) x3x28x+12x^3 - x^2 - 8x + 12
(3) 2x3+9x2+13x+62x^3 + 9x^2 + 13x + 6
(4) 3x38x215x43x^3 - 8x^2 - 15x - 4

2. 解き方の手順

(1) x32x2x+2x^3 - 2x^2 - x + 2
共通因数でくくります。
x2(x2)(x2)=(x21)(x2)x^2(x - 2) - (x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2)
さらに因数分解します。
(x1)(x+1)(x2)(x - 1)(x + 1)(x - 2)
(2) x3x28x+12x^3 - x^2 - 8x + 12
x=2x=2 を代入すると、23228(2)+12=8416+12=02^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0なので、x2x-2を因数に持ちます。
組み立て除法を行うと、
```
1 -1 -8 12
2 | 2 2 -12
----------------
1 1 -6 0
```
したがって、
x3x28x+12=(x2)(x2+x6)=(x2)(x+3)(x2)=(x2)2(x+3)x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x^2 + x - 6) = (x - 2)(x + 3)(x - 2) = (x - 2)^2(x + 3)
(3) 2x3+9x2+13x+62x^3 + 9x^2 + 13x + 6
x=1x=-1 を代入すると、2(1)3+9(1)2+13(1)+6=2+913+6=02(-1)^3 + 9(-1)^2 + 13(-1) + 6 = -2 + 9 - 13 + 6 = 0なので、x+1x+1を因数に持ちます。
組み立て除法を行うと、
```
2 9 13 6
-1 | -2 -7 -6
----------------
2 7 6 0
```
したがって、
2x3+9x2+13x+6=(x+1)(2x2+7x+6)=(x+1)(2x+3)(x+2)2x^3 + 9x^2 + 13x + 6 = (x + 1)(2x^2 + 7x + 6) = (x + 1)(2x + 3)(x + 2)
(4) 3x38x215x43x^3 - 8x^2 - 15x - 4
x=1/3x=-1/3 を代入すると、3(1/3)38(1/3)215(1/3)4=1/98/9+54=1+1=03(-1/3)^3 - 8(-1/3)^2 - 15(-1/3) - 4 = -1/9 - 8/9 + 5 - 4 = -1 + 1 = 0なので、x+1/3x+1/3を因数に持ちます。つまり、3x+13x+1を因数に持ちます。
組み立て除法を行うと、
```
3 -8 -15 -4
-1/3 | -1 3 4
----------------
3 -9 -12 0
```
したがって、
3x38x215x4=(3x+1)(x23x4)=(3x+1)(x4)(x+1)3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = (3x + 1)(x^2 - 3x - 4) = (3x + 1)(x - 4)(x + 1)

3. 最終的な答え

(1) (x1)(x+1)(x2)(x - 1)(x + 1)(x - 2)
(2) (x2)2(x+3)(x - 2)^2(x + 3)
(3) (x+1)(x+2)(2x+3)(x + 1)(x + 2)(2x + 3)
(4) (3x+1)(x4)(x+1)(3x + 1)(x - 4)(x + 1)