以下の4つの3次式を因数分解します。 (1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$ (2) $x^3 - x^2 - 8x + 12$ (3) $2x^3 + 9x^2 + 13x + 6$ (4) $3x^3 - 8x^2 - 15x - 4$

はい、承知いたしました。問題の因数分解を行います。

1. 問題の内容

以下の4つの3次式を因数分解します。

(1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$

(2) $x^3 - x^2 - 8x + 12$

(3) $2x^3 + 9x^2 + 13x + 6$

(4) $3x^3 - 8x^2 - 15x - 4$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$

共通因数でくくります。

$x^2(x - 2) - (x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2)$

さらに因数分解します。

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

(2) $x^3 - x^2 - 8x + 12$

$x=2$ を代入すると、$2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$なので、$x-2$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

1 -1 -8 12

2 | 2 2 -12

----------------

1 1 -6 0

```

したがって、

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x^2 + x - 6) = (x - 2)(x + 3)(x - 2) = (x - 2)^2(x + 3)$

(3) $2x^3 + 9x^2 + 13x + 6$

$x=-1$ を代入すると、$2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 13(-1) + 6 = -2 + 9 - 13 + 6 = 0$なので、$x+1$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

2 9 13 6

-1 | -2 -7 -6

----------------

2 7 6 0

```

したがって、

$2x^3 + 9x^2 + 13x + 6 = (x + 1)(2x^2 + 7x + 6) = (x + 1)(2x + 3)(x + 2)$

(4) $3x^3 - 8x^2 - 15x - 4$

$x=-1/3$ を代入すると、$3(-1/3)^3 - 8(-1/3)^2 - 15(-1/3) - 4 = -1/9 - 8/9 + 5 - 4 = -1 + 1 = 0$なので、$x+1/3$を因数に持ちます。つまり、$3x+1$を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

```

3 -8 -15 -4

-1/3 | -1 3 4

----------------

3 -9 -12 0

```

したがって、

$3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = (3x + 1)(x^2 - 3x - 4) = (3x + 1)(x - 4)(x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

(2) $(x - 2)^2(x + 3)$

(3) $(x + 1)(x + 2)(2x + 3)$

(4) $(3x + 1)(x - 4)(x + 1)$