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多項式 $P(x) = x^3 + 5x^2 + ax + 20$ を $x+1$ で割ったときの余りが $3a$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

代数学多項式剰余の定理因数定理代入
2025/7/10

1. 問題の内容

多項式 P(x)=x3+5x2+ax+20P(x) = x^3 + 5x^2 + ax + 20 を x+1x+1 で割ったときの余りが 3a3a であるとき、定数 aa の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、多項式 P(x)P(x) を x−cx - c で割ったときの余りは P(c)P(c) であるというものです。
この問題では、P(x)=x3+5x2+ax+20P(x) = x^3 + 5x^2 + ax + 20 を x+1x+1 で割るので、c=−1c = -1 です。
したがって、P(−1)P(-1) が余りとなります。
余りが 3a3a であることから、P(−1)=3aP(-1) = 3a という方程式を立てて、aa の値を求めます。
P(−1)P(-1) を計算します。
P(−1)=(−1)3+5(−1)2+a(−1)+20=−1+5−a+20=24−aP(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + a(-1) + 20 = -1 + 5 - a + 20 = 24 - a
P(−1)=3aP(-1) = 3a より、24−a=3a24 - a = 3a という方程式が成り立ちます。
これを解くと、4a=244a = 24 となり、a=6a = 6 となります。

3. 最終的な答え

a=6a = 6

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