多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a$ を $x+1$ で割ったときの余りが3であるとき、定数 $a$ の値を求める。

代数学多項式剰余の定理因数定理方程式二次方程式

2025/7/10

1. 問題の内容

多項式

P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a

を

x+1

で割ったときの余りが3であるとき、定数

a

の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、

P(-1) = 3

が成り立つ。

P(-1)

を計算する。

P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^2 + a^2(-1) + 2a = 1 + 5 - a^2 + 2a = 6 - a^2 + 2a

したがって、

6 - a^2 + 2a = 3

a

についての方程式を解く。

a^2 - 2a - 3 = 0

(a-3)(a+1) = 0

a = 3, -1

3. 最終的な答え

a = -1, 3

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