次の条件で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - 3$

代数学数列漸化式等比数列一般項
2025/7/10

1. 問題の内容

次の条件で定義される数列 {an}\{a_n\} の一般項を求めます。
(1) a1=4a_1 = 4, an+1=3an2a_{n+1} = 3a_n - 2
(2) a1=1a_1 = 1, an+1=12an3a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - 3

2. 解き方の手順

(1)
漸化式 an+1=3an2a_{n+1} = 3a_n - 2 を変形します。
an+1α=3(anα)a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)
となる α\alpha を求めると、
α=3α2\alpha = 3\alpha - 2 より、α=1\alpha = 1
よって、 an+11=3(an1)a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)
数列 {an1}\{a_n - 1\} は、初項 a11=41=3a_1 - 1 = 4 - 1 = 3, 公比 33 の等比数列である。
したがって、 an1=33n1=3na_n - 1 = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n
ゆえに、an=3n+1a_n = 3^n + 1
(2)
漸化式 an+1=12an3a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 3 を変形します。
an+1α=12(anα)a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha)
となる α\alpha を求めると、
α=12α3\alpha = \frac{1}{2}\alpha - 3 より、12α=3\frac{1}{2}\alpha = -3 となり、α=6\alpha = -6
よって、 an+1+6=12(an+6)a_{n+1} + 6 = \frac{1}{2}(a_n + 6)
数列 {an+6}\{a_n + 6\} は、初項 a1+6=1+6=7a_1 + 6 = 1 + 6 = 7, 公比 12\frac{1}{2} の等比数列である。
したがって、an+6=7(12)n1a_n + 6 = 7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
ゆえに、an=7(12)n16a_n = 7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 6

3. 最終的な答え

(1) an=3n+1a_n = 3^n + 1
(2) an=7(12)n16a_n = 7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} - 6

「代数学」の関連問題

与えられた図と条件に基づき、以下の問題を解きます。 - (1) 関数 $y=ax^2$ の $a$ の値を求めます。点A(-4, 8)がこのグラフ上にあるという条件を使います。 - (2) PR = ...

二次関数グラフ座標平面正方形方程式
2025/7/12

$\log_2 \frac{1}{4}$ の値を求めよ。

対数指数
2025/7/12

画像にある4つの問題のうち、すべて解きます。 (2) $(\sqrt{5}-1)p + q\sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$ を満たす有理数 $p$, $q$ の値を求めよ。 (3) 2...

二次関数平行移動対称移動有理数
2025/7/12

$\log_3 9$ の値を求めよ。

対数指数
2025/7/12

与えられた式を因数分解する問題です。 式は $6(x^2 - y^2 - 2z^2) - 5xy + 18yz + 14zx$ です。

因数分解多項式
2025/7/12

与えられた式 $6y^2 - 18yz + 12z^2$ を因数分解します。

因数分解二次式多項式
2025/7/12

与えられた2変数多項式 $6y^2 - 19yz + 12z^2$ を因数分解します。

因数分解多項式
2025/7/12

与えられた式 $6y^2 - 18yz + 14z^2$ を因数分解する問題です。

因数分解二次式多項式
2025/7/12

与えられた3つの対数の式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_{4}8$ (2) $\log_{27}3$ (3) $\log_{2}3 \cdot \log_{3}8$

対数対数の計算対数の性質底の変換公式
2025/7/12

x, y は実数とする。以下の条件について、(1)~(4) のそれぞれにおいて、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断し、ア~エの記号で答...

条件必要十分条件不等式方程式論理
2025/7/12