与えられた式 $6y^2 - 18yz + 14z^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $6y^2 - 18yz + 14z^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式全体の共通因数を見つけます。すべての項は2で割り切れるので、2をくくりだします。

$6y^2 - 18yz + 14z^2 = 2(3y^2 - 9yz + 7z^2)$

次に、括弧の中の2次式 $3y^2 - 9yz + 7z^2$ が因数分解できるかどうかを検討します。$3y^2 - 9yz + 7z^2$を $(ay + bz)(cy + dz)$ の形に因数分解できると仮定すると、

$ac = 3$

$ad + bc = -9$

$bd = 7$

を満たす整数 $a, b, c, d$ を見つける必要があります。$ac=3$ と $bd=7$ より、ありえる組み合わせは $a=1, c=3$ あるいは $a=3, c=1$ であり、$b=1, d=7$ あるいは $b=7, d=1$ です。

これらの組み合わせを $ad+bc=-9$ に代入してみると、

$a=1, c=3, b=1, d=7$ のとき $ad+bc = 7 + 3 = 10$

$a=1, c=3, b=7, d=1$ のとき $ad+bc = 1 + 21 = 22$

$a=3, c=1, b=1, d=7$ のとき $ad+bc = 21 + 1 = 22$

$a=3, c=1, b=7, d=1$ のとき $ad+bc = 3 + 7 = 10$

いずれの場合も -9 にはならないので、$3y^2 - 9yz + 7z^2$ は有理数の範囲では因数分解できません。

したがって、$6y^2 - 18yz + 14z^2$ の因数分解は $2(3y^2 - 9yz + 7z^2)$ が最も簡単な形となります。

3. 最終的な答え

$2(3y^2 - 9yz + 7z^2)$