与えられた図と条件に基づき、以下の問題を解きます。 - (1) 関数 $y=ax^2$ の $a$ の値を求めます。点A(-4, 8)がこのグラフ上にあるという条件を使います。 - (2) PR = 8/9 cm のとき、線分PQの長さを求めます。 - (3) 四角形PQRSが正方形であるとき、点Pの座標を求めます。 - (4) 四角形PQRSの周の長さが21cmであるとき、直線APの式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図と条件に基づき、以下の問題を解きます。

- (1) 関数 $y=ax^2$ の $a$ の値を求めます。点A(-4, 8)がこのグラフ上にあるという条件を使います。

- (2) PR = 8/9 cm のとき、線分PQの長さを求めます。

- (3) 四角形PQRSが正方形であるとき、点Pの座標を求めます。

- (4) 四角形PQRSの周の長さが21cmであるとき、直線APの式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める

点A(-4, 8)は関数 $y = ax^2$ 上にあるので、この座標を代入します。

$8 = a \cdot (-4)^2$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

(2) 線分PQの長さを求める

PR = $\frac{8}{9}$ のときを考えます。

点Rは $y=\frac{1}{2}x^2$ 上にあり、点Pのy座標と点Rのy座標は等しいので、点Pのy座標を $t$ とします。

点Pは $y=x^2$ 上にあるので、Pのx座標は $\sqrt{t}$ (正なので)となります。

点Rは $y=\frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、$t = \frac{1}{2}x^2$ より、$x = \sqrt{2t}$ となります。

したがって、PR = $\sqrt{2t} - \sqrt{t} = \frac{8}{9}$

$\sqrt{t}(\sqrt{2} - 1) = \frac{8}{9}$

$\sqrt{t} = \frac{8}{9(\sqrt{2}-1)} = \frac{8(\sqrt{2}+1)}{9(2-1)} = \frac{8(\sqrt{2}+1)}{9}$

$t = (\frac{8(\sqrt{2}+1)}{9})^2 = \frac{64(2 + 2\sqrt{2} + 1)}{81} = \frac{64(3 + 2\sqrt{2})}{81}$

PQの長さは、Pのx座標の2倍なので、$2\sqrt{t} = 2 \cdot \frac{8(\sqrt{2}+1)}{9} = \frac{16(\sqrt{2}+1)}{9}$

PR=8/9ということは、点Pのx座標をsとすると、点Rのx座標は点Pのx座標より8/9だけ大きい。

点Pの座標は(s, $s^2$)、点Rの座標は(s+8/9, $s^2$)となる。

点Rは$y = \frac{1}{2}x^2$上にあるので、$s^2 = \frac{1}{2}(s+\frac{8}{9})^2$

$2s^2 = s^2 + \frac{16}{9}s + \frac{64}{81}$

$s^2 - \frac{16}{9}s - \frac{64}{81} = 0$

$81s^2 - 144s - 64 = 0$

$(9s+4)(9s-16) = 0$

$s = -\frac{4}{9}, \frac{16}{9}$

s>0なので、s=16/9

点Pのx座標が16/9なので、点Qのx座標は-16/9

したがってPQ = 16/9 - (-16/9) = 32/9

(3) 四角形PQRSが正方形のとき

Pの座標を $(t, t^2)$ とすると、Qの座標は $(-t, t^2)$。

Rの座標は $(s, \frac{1}{2}s^2)$、Sの座標は $(-s, \frac{1}{2}s^2)$。

PQの長さは $2t$, PRの長さは $t - s = t - \sqrt{2t^2} = \sqrt{2t^2} -t$

$t>0, s>0$

RQの長さは $t^2-\frac{1}{2}s^2$

$2t = t^2-\frac{1}{2}s^2$より計算が複雑になるため、PR=RQで考える。

正方形なので、PQ = PR より、$2t = s - t$, $PR = s -t = 8/9$

$PR = t - \sqrt{2t^2} = 0$

PR = PQ より、$2t = t^2 - \frac{1}{2}(\sqrt{2}t)^2 = 0$

PQ=PRより、

$2t = \sqrt{2}t - t$

$3t=\sqrt{2}t$, これを満たすのはt=0しかない。これは不適

正方形なので、PQ=PR。したがって $2t = t - \sqrt{2t^2}$. これは解なし。

PR=RQより、 $\sqrt{2}t - t = t^2 - \frac{1}{2}2t^2=0$

正方形なので、PR=RQ=PQなので$2t=\sqrt{2}t-t$これはt=0しかない

四角形PQRSが一辺の長さがLの正方形であるとすると、P(L/2, (L/2)^2), R(L/2+L, (L/2)^2), よってP(L/2, (L/2)^2), R(3L/2, (L/2)^2), 点Rがy=1/2x^2上にあるので、(L/2)^2=1/2(3L/2)^2

L^2/4 = 1/2(9L^2/4) よって、L=0なので不適。

(4) 四角形PQRSの周の長さが21cmのとき

PQ + QR + RS + SP = 21

PQ=RS, PR=QS

PQ+PR = 21/2

P(t, t^2), Q(-t, t^2), R(s, 1/2*s^2), S(-s, 1/2*s^2)

PQ = 2t, PR = t^2 - 1/2 s^2, 2t + 2sqrt2t -t= 0

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $\frac{32}{9}$

(3) 解なし

(4) 解なし