画像にある4つの問題のうち、すべて解きます。 (2) $(\sqrt{5}-1)p + q\sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$ を満たす有理数 $p$, $q$ の値を求めよ。 (3) 2次関数 $y = (1-2x)(x+3)$ の軸と頂点を求めよ。 (4) ある放物線を、$x$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動すると、放物線 $y = x^2 + 4x + 3$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。 (5) 放物線 $y = 2x^2 + 6x + 4$ を $x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動し、更に $y$軸に関して対称移動すると、放物線 $y = 2x^2 - 2x + 3$ に移った。定数 $p$, $q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

画像にある4つの問題のうち、すべて解きます。

(2) $(\sqrt{5}-1)p + q\sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$ を満たす有理数 $p$, $q$ の値を求めよ。

(3) 2次関数 $y = (1-2x)(x+3)$ の軸と頂点を求めよ。

(4) ある放物線を、$x$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動すると、放物線 $y = x^2 + 4x + 3$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

(5) 放物線 $y = 2x^2 + 6x + 4$ を $x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動し、更に $y$軸に関して対称移動すると、放物線 $y = 2x^2 - 2x + 3$ に移った。定数 $p$, $q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(2)

$(\sqrt{5}-1)p + q\sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$ を変形すると、

$\sqrt{5}p - p + q\sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$

$\sqrt{5}(p+q) - p = 2 + \sqrt{5}$

$p,q$は有理数なので、$p+q = 1$ かつ $-p = 2$。

したがって、$p = -2$, $q = 1-p = 1-(-2) = 3$。

(3)

$y = (1-2x)(x+3) = -2x^2 -5x + 3 = -2(x^2 + \frac{5}{2}x) + 3 = -2(x + \frac{5}{4})^2 + 2(\frac{25}{16}) + 3 = -2(x + \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} + \frac{24}{8} = -2(x + \frac{5}{4})^2 + \frac{49}{8}$.

よって、軸は $x = -\frac{5}{4}$、頂点は $(-\frac{5}{4}, \frac{49}{8})$。

(4)

移動を逆順に行う。$y = x^2 + 4x + 3$ を $y$軸方向に $-3$ だけ平行移動すると、$y = x^2 + 4x + 3 - 3 = x^2 + 4x$.

次に、$x$軸方向に $1$ だけ平行移動すると、$y = (x-1)^2 + 4(x-1) = x^2 - 2x + 1 + 4x - 4 = x^2 + 2x - 3$.

最後に、$x$軸に関して対称移動すると、$y = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$.

(5)

$y = 2x^2 + 6x + 4 = 2(x^2 + 3x) + 4 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) + 4 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{8}{2} = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$.

$x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = 2(x - p + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2} + q$.

$y$軸に関して対称移動すると、$y = 2(-x - p + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2} + q = 2(x + p - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2} + q$.

$y = 2x^2 - 2x + 3 = 2(x^2 - x) + 3 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 3 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 3 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2}$.

したがって、 $p - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ かつ $-\frac{1}{2} + q = \frac{5}{2}$.

よって、$p = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$ かつ $q = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$.

3. 最終的な答え

(2) $p = -2$, $q = 3$

(3) 軸は $x = -\frac{5}{4}$、頂点は $(-\frac{5}{4}, \frac{49}{8})$

(4) $y = -x^2 - 2x + 3$

(5) $p = 1$, $q = 3$