与えられた3つの対数の式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_{4}8$ (2) $\log_{27}3$ (3) $\log_{2}3 \cdot \log_{3}8$

1. 問題の内容

与えられた3つの対数の式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_{4}8$

(2) $\log_{27}3$

(3) $\log_{2}3 \cdot \log_{3}8$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{4}8$

底と真数をそれぞれ素数のべき乗で表します。

$4 = 2^2$ , $8 = 2^3$

$\log_{4}8 = \log_{2^2}2^3$

対数の性質 $\log_{a^m}b^n = \frac{n}{m}\log_{a}b$ を利用します。

$\log_{2^2}2^3 = \frac{3}{2}\log_{2}2$

$\log_{a}a = 1$ であるから、$\log_{2}2 = 1$

$\frac{3}{2}\log_{2}2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

(2) $\log_{27}3$

底と真数をそれぞれ素数のべき乗で表します。

$27 = 3^3$

$\log_{27}3 = \log_{3^3}3$

対数の性質 $\log_{a^m}b^n = \frac{n}{m}\log_{a}b$ を利用します。

$\log_{3^3}3 = \log_{3^3}3^1 = \frac{1}{3}\log_{3}3$

$\log_{a}a = 1$ であるから、$\log_{3}3 = 1$

$\frac{1}{3}\log_{3}3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

(3) $\log_{2}3 \cdot \log_{3}8$

対数の底の変換公式 $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ を利用します。

$\log_{3}8 = \frac{\log_{2}8}{\log_{2}3}$

$\log_{2}3 \cdot \log_{3}8 = \log_{2}3 \cdot \frac{\log_{2}8}{\log_{2}3} = \log_{2}8$

$8 = 2^3$ であるから、

$\log_{2}8 = \log_{2}2^3$

対数の性質 $\log_{a}b^n = n\log_{a}b$ を利用します。

$\log_{2}2^3 = 3\log_{2}2$

$\log_{a}a = 1$ であるから、$\log_{2}2 = 1$

$3\log_{2}2 = 3 \cdot 1 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $3$