与えられた4つの2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形(平方完成)しなさい。

代数学二次関数平方完成
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数を y=a(xp)2+qy = a(x-p)^2 + q の形に変形(平方完成)しなさい。

2. 解き方の手順

(1) y=x22xy = x^2 - 2x
まず、x22xx^2 - 2x を平方完成します。
x22x=x221xx^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x
(x1)2=x22x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 なので、 x22x=(x1)21x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 となります。
y=x22x=(x1)21y = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
(2) y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1
x2+4xx^2 + 4x を平方完成します。
x2+4x=x2+22xx^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x
(x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 なので、x2+4x=(x+2)24x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4
y=x2+4x+1=(x+2)24+1=(x+2)23y = x^2 + 4x + 1 = (x+2)^2 - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3
(3) y=2x2+8xy = 2x^2 + 8x
まず、2でくくります。
y=2(x2+4x)y = 2(x^2 + 4x)
次に、x2+4xx^2 + 4x を平方完成します。
x2+4x=x2+22xx^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x
(x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 なので、x2+4x=(x+2)24x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4
y=2(x2+4x)=2((x+2)24)=2(x+2)28y = 2(x^2 + 4x) = 2((x+2)^2 - 4) = 2(x+2)^2 - 8
(4) y=x2+8x+2y = -x^2 + 8x + 2
まず、1-1 でくくります。
y=(x28x)+2y = -(x^2 - 8x) + 2
次に、x28xx^2 - 8x を平方完成します。
x28x=x224xx^2 - 8x = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x
(x4)2=x28x+16(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 なので、x28x=(x4)216x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16
y=(x28x)+2=((x4)216)+2=(x4)2+16+2=(x4)2+18y = -(x^2 - 8x) + 2 = -((x-4)^2 - 16) + 2 = -(x-4)^2 + 16 + 2 = -(x-4)^2 + 18

3. 最終的な答え

(1) y=(x1)21y = (x - 1)^2 - 1
(2) y=(x+2)23y = (x + 2)^2 - 3
(3) y=2(x+2)28y = 2(x + 2)^2 - 8
(4) y=(x4)2+18y = -(x - 4)^2 + 18

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