与えられた4つの2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形(平方完成)しなさい。代数学二次関数平方完成2025/7/101. 問題の内容与えられた4つの2次関数を y=a(x−p)2+qy = a(x-p)^2 + qy=a(x−p)2+q の形に変形(平方完成)しなさい。2. 解き方の手順(1) y=x2−2xy = x^2 - 2xy=x2−2xまず、x2−2xx^2 - 2xx2−2x を平方完成します。x2−2x=x2−2⋅1⋅xx^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot 1 \cdot xx2−2x=x2−2⋅1⋅x(x−1)2=x2−2x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1(x−1)2=x2−2x+1 なので、 x2−2x=(x−1)2−1x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1x2−2x=(x−1)2−1 となります。y=x2−2x=(x−1)2−1y = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1y=x2−2x=(x−1)2−1(2) y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1y=x2+4x+1x2+4xx^2 + 4xx2+4x を平方完成します。x2+4x=x2+2⋅2⋅xx^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot xx2+4x=x2+2⋅2⋅x(x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4(x+2)2=x2+4x+4 なので、x2+4x=(x+2)2−4x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4x2+4x=(x+2)2−4y=x2+4x+1=(x+2)2−4+1=(x+2)2−3y = x^2 + 4x + 1 = (x+2)^2 - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3y=x2+4x+1=(x+2)2−4+1=(x+2)2−3(3) y=2x2+8xy = 2x^2 + 8xy=2x2+8xまず、2でくくります。y=2(x2+4x)y = 2(x^2 + 4x)y=2(x2+4x)次に、x2+4xx^2 + 4xx2+4x を平方完成します。x2+4x=x2+2⋅2⋅xx^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot xx2+4x=x2+2⋅2⋅x(x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4(x+2)2=x2+4x+4 なので、x2+4x=(x+2)2−4x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4x2+4x=(x+2)2−4y=2(x2+4x)=2((x+2)2−4)=2(x+2)2−8y = 2(x^2 + 4x) = 2((x+2)^2 - 4) = 2(x+2)^2 - 8y=2(x2+4x)=2((x+2)2−4)=2(x+2)2−8(4) y=−x2+8x+2y = -x^2 + 8x + 2y=−x2+8x+2まず、−1-1−1 でくくります。y=−(x2−8x)+2y = -(x^2 - 8x) + 2y=−(x2−8x)+2次に、x2−8xx^2 - 8xx2−8x を平方完成します。x2−8x=x2−2⋅4⋅xx^2 - 8x = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot xx2−8x=x2−2⋅4⋅x(x−4)2=x2−8x+16(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16(x−4)2=x2−8x+16 なので、x2−8x=(x−4)2−16x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16x2−8x=(x−4)2−16y=−(x2−8x)+2=−((x−4)2−16)+2=−(x−4)2+16+2=−(x−4)2+18y = -(x^2 - 8x) + 2 = -((x-4)^2 - 16) + 2 = -(x-4)^2 + 16 + 2 = -(x-4)^2 + 18y=−(x2−8x)+2=−((x−4)2−16)+2=−(x−4)2+16+2=−(x−4)2+183. 最終的な答え(1) y=(x−1)2−1y = (x - 1)^2 - 1y=(x−1)2−1(2) y=(x+2)2−3y = (x + 2)^2 - 3y=(x+2)2−3(3) y=2(x+2)2−8y = 2(x + 2)^2 - 8y=2(x+2)2−8(4) y=−(x−4)2+18y = -(x - 4)^2 + 18y=−(x−4)2+18