与えられた連立方程式 $ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x - 7y = 2 \end{cases} $ について、以下の問いに答えます。 (1) 係数行列を求める。 (2) 係数行列の逆行列を用いて、連立方程式の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$$

\begin{cases}

x - 2y = 3 \\

3x - 7y = 2

\end{cases}

$$

について、以下の問いに答えます。

(1) 係数行列を求める。

(2) 係数行列の逆行列を用いて、連立方程式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 係数行列を求める。

連立方程式の係数を取り出して行列を作成します。

係数行列 $A$は、

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & -2 \\

3 & -7

\end{pmatrix}

$$

となります。

(2) 係数行列の逆行列を求め、それを用いて連立方程式の解を求める。

まず、係数行列$A$の行列式$|A|$を計算します。

$$

|A| = (1 \times -7) - (-2 \times 3) = -7 + 6 = -1

$$

次に、逆行列$A^{-1}$を計算します。

$$

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix}

-7 & 2 \\

-3 & 1

\end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}

-7 & 2 \\

-3 & 1

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

7 & -2 \\

3 & -1

\end{pmatrix}

$$

連立方程式の解は、

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix}

3 \\

2

\end{pmatrix}

$$

で求められます。

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

7 & -2 \\

3 & -1

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

3 \\

2

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

(7 \times 3) + (-2 \times 2) \\

(3 \times 3) + (-1 \times 2)

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

21 - 4 \\

9 - 2

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

17 \\

7

\end{pmatrix}

$$

したがって、$x = 17$、$y = 7$となります。

3. 最終的な答え

(1) 係数行列：

$$

\begin{pmatrix}

1 & -2 \\

3 & -7

\end{pmatrix}

$$

(2) 連立方程式の解：

$x = 17$, $y = 7$