与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には以下の2つの数列の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2$ (2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -3a_n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には以下の2つの数列の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2$

(2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -3a_n$

2. 解き方の手順

(1)

これは等差数列の漸化式です。初項 $a_1 = 3$, 公差 $d = 2$ なので、等差数列の一般項の公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ を用いて求めます。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

(2)

これは等比数列の漸化式です。初項 $a_1 = 5$, 公比 $r = -3$ なので、等比数列の一般項の公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$ を用いて求めます。

$a_n = a_1 r^{n-1} = 5 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 1$

(2) $a_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}$