2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + 2$, $\beta + 2$ を解とする2次方程式を1つ求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + 2$, $\beta + 2$ を解とする2次方程式を1つ求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解と係数の関係を利用する。

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 2$$

$$\alpha\beta = -1$$

$\alpha + 2$ と $\beta + 2$ を解とする2次方程式を $x^2 - Sx + P = 0$ とする。

ここで $S$ は2つの解の和、 $P$ は2つの解の積である。

$S$ と $P$ を計算する。

$S = (\alpha + 2) + (\beta + 2) = \alpha + \beta + 4 = 2 + 4 = 6$

$P = (\alpha + 2)(\beta + 2) = \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4 = -1 + 2(2) + 4 = -1 + 4 + 4 = 7$

したがって、求める2次方程式は $x^2 - 6x + 7 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

$x^2 - 6x + 7 = 0$