多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $2$、$x+3$ で割ると余りが $-6$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $2$、$x+3$ で割ると余りが $-6$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

余りを $ax + b$ とおく。

$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

剰余の定理より、$P(1) = 2$、$P(-3) = -6$ である。

$x=1$ を代入すると、$P(1) = a(1) + b = a + b = 2$

$x=-3$ を代入すると、$P(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -6$

連立方程式

$a + b = 2$

$-3a + b = -6$

を解く。

上の式から下の式を引くと、$4a = 8$ より $a = 2$

$a + b = 2$ に代入して $2 + b = 2$ より $b = 0$

したがって、余りは $2x + 0 = 2x$ である。

3. 最終的な答え

$2x$