2次関数 $y = -x^2 - 8x + 1$ のグラフの軸と頂点を求め、そのグラフを描画すること。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 8x + 1$ のグラフの軸と頂点を求め、そのグラフを描画すること。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 8x + 1$

$y = -(x^2 + 8x) + 1$

$y = -(x^2 + 8x + 16 - 16) + 1$

$y = -((x + 4)^2 - 16) + 1$

$y = -(x + 4)^2 + 16 + 1$

$y = -(x + 4)^2 + 17$

平方完成した式 $y = -(x + 4)^2 + 17$ から、グラフの頂点の座標は $(-4, 17)$ であることがわかります。

軸は、頂点の $x$ 座標を通る直線なので、$x = -4$ です。

グラフを描画するには、頂点と軸の情報に加えて、いくつかの点を見つけると便利です。例えば、$x = 0$ のとき、$y = -0^2 - 8(0) + 1 = 1$。よって、点 $(0, 1)$ を通ります。また、$x = -8$ のとき、$y = -(-8)^2 - 8(-8) + 1 = -64 + 64 + 1 = 1$。よって、点 $(-8, 1)$ を通ります。

グラフは、頂点 $(-4, 17)$ を通り、軸が $x = -4$ である上に凸の放物線になります。

3. 最終的な答え

軸：$x = -4$

頂点：$(-4, 17)$

グラフ：頂点 $(-4, 17)$ を通り、上に凸の放物線。