多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2+2x+4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求める。

代数学多項式剰余の定理展開
2025/7/9

1. 問題の内容

多項式 P(x)P(x)x2x-2 で割ったときの商が x2+2x+4x^2+2x+4 で、余りが 33 であるとき、P(x)P(x) を求める。

2. 解き方の手順

多項式 P(x)P(x) を多項式 A(x)A(x) で割ったときの商を Q(x)Q(x)、余りを R(x)R(x) とすると、
P(x)=A(x)Q(x)+R(x)P(x) = A(x)Q(x) + R(x)
と表すことができます。
この問題では、A(x)=x2A(x) = x-2Q(x)=x2+2x+4Q(x) = x^2+2x+4R(x)=3R(x) = 3 であるから、
P(x)=(x2)(x2+2x+4)+3P(x) = (x-2)(x^2+2x+4) + 3
となります。
次に、(x2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4) を展開します。
(x2)(x2+2x+4)=x(x2+2x+4)2(x2+2x+4)=x3+2x2+4x2x24x8=x38(x-2)(x^2+2x+4) = x(x^2+2x+4) - 2(x^2+2x+4) = x^3+2x^2+4x - 2x^2-4x-8 = x^3-8
したがって、
P(x)=x38+3=x35P(x) = x^3-8 + 3 = x^3 - 5

3. 最終的な答え

P(x)=x35P(x) = x^3 - 5

「代数学」の関連問題

与えられた2つの数 $2 + \sqrt{3}i$ と $2 - \sqrt{3}i$ を解とする2次方程式を求めます。

二次方程式複素数解と係数の関係
2025/7/10

与えられた関数 $y = -\frac{1}{2}(x+1)^2$ に対して、$x$ の値が -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 のときの $y$ の値を求め、表を完成させる問題です。

二次関数関数の値
2025/7/10

与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 2x + 4$ (2) $2x^2 - 3x - 1$

二次方程式因数分解複素数
2025/7/10

与えられた2次式 $x^2 + 2x + 4$ を、複素数の範囲で因数分解せよ。

二次方程式因数分解複素数解の公式
2025/7/10

2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

二次方程式解と係数の関係根の比
2025/7/10

与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、 (3) $2x^3+9x^2+13x+6$ (4) $3x^3-8x^2-15x-4$ の因数分解を行います。

因数分解多項式有理根定理
2025/7/10

2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、$m$ の値を求めよ。

二次方程式解と係数の関係解の比
2025/7/10

2次方程式 $x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\al...

二次方程式解と係数の関係解の対称式
2025/7/10

ベクトル $\vec{a} = (-3, 5)$ と $\vec{b} = (-2, 3)$ が与えられたとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。

ベクトル内積線形代数
2025/7/10

与えられた行列AとBに対して、それぞれの余因子行列と逆行列を求める問題です。 行列Aは $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & ...

行列余因子行列逆行列行列式
2025/7/10