多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2+2x+4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求める。

代数学多項式剰余の定理展開
2025/7/9

1. 問題の内容

多項式 P(x)P(x)x2x-2 で割ったときの商が x2+2x+4x^2+2x+4 で、余りが 33 であるとき、P(x)P(x) を求める。

2. 解き方の手順

多項式 P(x)P(x) を多項式 A(x)A(x) で割ったときの商を Q(x)Q(x)、余りを R(x)R(x) とすると、
P(x)=A(x)Q(x)+R(x)P(x) = A(x)Q(x) + R(x)
と表すことができます。
この問題では、A(x)=x2A(x) = x-2Q(x)=x2+2x+4Q(x) = x^2+2x+4R(x)=3R(x) = 3 であるから、
P(x)=(x2)(x2+2x+4)+3P(x) = (x-2)(x^2+2x+4) + 3
となります。
次に、(x2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4) を展開します。
(x2)(x2+2x+4)=x(x2+2x+4)2(x2+2x+4)=x3+2x2+4x2x24x8=x38(x-2)(x^2+2x+4) = x(x^2+2x+4) - 2(x^2+2x+4) = x^3+2x^2+4x - 2x^2-4x-8 = x^3-8
したがって、
P(x)=x38+3=x35P(x) = x^3-8 + 3 = x^3 - 5

3. 最終的な答え

P(x)=x35P(x) = x^3 - 5

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