多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2+2x+4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求める。代数学多項式剰余の定理展開2025/7/91. 問題の内容多項式 P(x)P(x)P(x) を x−2x-2x−2 で割ったときの商が x2+2x+4x^2+2x+4x2+2x+4 で、余りが 333 であるとき、P(x)P(x)P(x) を求める。2. 解き方の手順多項式 P(x)P(x)P(x) を多項式 A(x)A(x)A(x) で割ったときの商を Q(x)Q(x)Q(x)、余りを R(x)R(x)R(x) とすると、P(x)=A(x)Q(x)+R(x)P(x) = A(x)Q(x) + R(x)P(x)=A(x)Q(x)+R(x)と表すことができます。この問題では、A(x)=x−2A(x) = x-2A(x)=x−2、Q(x)=x2+2x+4Q(x) = x^2+2x+4Q(x)=x2+2x+4、R(x)=3R(x) = 3R(x)=3 であるから、P(x)=(x−2)(x2+2x+4)+3P(x) = (x-2)(x^2+2x+4) + 3P(x)=(x−2)(x2+2x+4)+3となります。次に、(x−2)(x2+2x+4)(x-2)(x^2+2x+4)(x−2)(x2+2x+4) を展開します。(x−2)(x2+2x+4)=x(x2+2x+4)−2(x2+2x+4)=x3+2x2+4x−2x2−4x−8=x3−8(x-2)(x^2+2x+4) = x(x^2+2x+4) - 2(x^2+2x+4) = x^3+2x^2+4x - 2x^2-4x-8 = x^3-8(x−2)(x2+2x+4)=x(x2+2x+4)−2(x2+2x+4)=x3+2x2+4x−2x2−4x−8=x3−8したがって、P(x)=x3−8+3=x3−5P(x) = x^3-8 + 3 = x^3 - 5P(x)=x3−8+3=x3−53. 最終的な答えP(x)=x3−5P(x) = x^3 - 5P(x)=x3−5