多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2+2x+4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2+2x+4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

多項式 $P(x)$ を多項式 $A(x)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$P(x) = A(x)Q(x) + R(x)$

と表すことができます。

この問題では、$A(x) = x-2$、$Q(x) = x^2+2x+4$、$R(x) = 3$ であるから、

$P(x) = (x-2)(x^2+2x+4) + 3$

となります。

次に、$(x-2)(x^2+2x+4)$ を展開します。

$(x-2)(x^2+2x+4) = x(x^2+2x+4) - 2(x^2+2x+4) = x^3+2x^2+4x - 2x^2-4x-8 = x^3-8$

したがって、

$P(x) = x^3-8 + 3 = x^3 - 5$

3. 最終的な答え

$P(x) = x^3 - 5$