2次方程式 $x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$

代数学二次方程式解と係数の関係解の対称式
2025/7/10

1. 問題の内容

2次方程式 x23x+8=0x^2 - 3x + 8 = 0 の2つの解を α\alphaβ\betaとするとき、以下の式の値を求めます。
(1) α2+β2\alpha^2 + \beta^2
(2) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、α+β\alpha + \betaαβ\alpha\beta を求めます。
x23x+8=0x^2 - 3x + 8 = 0 なので、
α+β=3\alpha + \beta = 3
αβ=8\alpha\beta = 8
(1) α2+β2\alpha^2 + \beta^2 を求めます。
(α+β)2=α2+2αβ+β2(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 より、
α2+β2=(α+β)22αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta
α2+β2=(3)22(8)=916=7\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(8) = 9 - 16 = -7
(2) α3+β3\alpha^3 + \beta^3 を求めます。
α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)
α3+β3=(α+β)((α2+β2)αβ)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta)
α3+β3=(3)((7)8)=3(15)=45\alpha^3 + \beta^3 = (3)((-7) - 8) = 3(-15) = -45

3. 最終的な答え

(1) α2+β2=7\alpha^2 + \beta^2 = -7
(2) α3+β3=45\alpha^3 + \beta^3 = -45

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