等差数列 $\{a_n\}$ について、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおく。$a_1 - a_{10} = -18$ かつ $S_3 = 15$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、和 $S_n$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^8 \frac{1}{S_k}$ を求めよ。 (3) 自然数 $n$ に対して、$n^2$ を 3 で割った余りを $b_n$ とするとき、$\sum_{k=1}^{3n} b_k S_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ について、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおく。$a_1 - a_{10} = -18$ かつ $S_3 = 15$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、和 $S_n$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^8 \frac{1}{S_k}$ を求めよ。

(3) 自然数 $n$ に対して、$n^2$ を 3 で割った余りを $b_n$ とするとき、$\sum_{k=1}^{3n} b_k S_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$a_n = a + (n-1)d$

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

$a_1 - a_{10} = a - (a + 9d) = -9d = -18$ より、$d = 2$ である。

$S_3 = \frac{3}{2}(2a + 2d) = 3(a+d) = 3(a+2) = 15$ より、$a+2=5$ となり、$a = 3$ である。

よって、$a_n = 3 + (n-1)2 = 2n+1$ である。

$S_n = \frac{n}{2}(2(3) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(6+2n-2) = \frac{n}{2}(2n+4) = n(n+2)$ である。

(2)

$S_n = n(n+2)$ より、$\frac{1}{S_n} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$ である。

$\sum_{k=1}^8 \frac{1}{S_k} = \sum_{k=1}^8 \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^8 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{10})]$

$= \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = \frac{1}{2}(\frac{180+90-20-18}{180}) = \frac{1}{2}(\frac{232}{180}) = \frac{58}{90} = \frac{29}{45}$ である。

(3)

$n^2$ を 3 で割った余り $b_n$ について、

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$n^2 \equiv 0 \pmod{3}$ より $b_n = 0$ である。

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$n^2 \equiv 1 \pmod{3}$ より $b_n = 1$ である。

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$n^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$ より $b_n = 1$ である。

よって、$b_n$ は $n$ が 3 の倍数のとき 0、それ以外のとき 1 である。

$\sum_{k=1}^{3n} b_k S_k = \sum_{k=1}^{3n} b_k k(k+2) = \sum_{k=1, k \not\equiv 0 \pmod{3}}^{3n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{3n} k(k+2) - \sum_{k=1}^n 3k(3k+2)$

$\sum_{k=1}^{3n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{3n} (k^2+2k) = \frac{3n(3n+1)(6n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{3n(3n+1)}{2} = \frac{3n(3n+1)(6n+1) + 6 \cdot 3n(3n+1)}{6} = \frac{3n(3n+1)(6n+1+6)}{6} = \frac{n(3n+1)(6n+7)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 3k(3k+2) = \sum_{k=1}^n (9k^2+6k) = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + 3n(n+1) = \frac{3n(n+1)(2n+1+2)}{2} = \frac{3n(n+1)(2n+3)}{2}$

$\sum_{k=1}^{3n} b_k S_k = \frac{n(3n+1)(6n+7)}{2} - \frac{3n(n+1)(2n+3)}{2} = \frac{n}{2}[ (3n+1)(6n+7) - 3(n+1)(2n+3) ] = \frac{n}{2}[ 18n^2+27n+7 - 3(2n^2+5n+3) ] = \frac{n}{2}[ 18n^2+27n+7 - 6n^2 - 15n - 9 ] = \frac{n}{2}(12n^2+12n-2) = n(6n^2+6n-1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n+1$, $S_n = n(n+2)$

(2) $\frac{29}{45}$

(3) $n(6n^2+6n-1)$