与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 2x + 4$ (2) $2x^2 - 3x - 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 2x + 4$

(2) $2x^2 - 3x - 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2x + 4$ について:

まず、2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = 4$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-3}}{2} = -1 \pm \sqrt{-3} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、解は $x = -1 + i\sqrt{3}$ と $x = -1 - i\sqrt{3}$ です。

2次式は、解 $\alpha, \beta$ を用いて $(x - \alpha)(x - \beta)$ のように因数分解できるので、

$x^2 + 2x + 4 = (x - (-1 + i\sqrt{3}))(x - (-1 - i\sqrt{3})) = (x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})$

(2) $2x^2 - 3x - 1$ について:

同様に、2次方程式 $2x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 2$, $b = -3$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、解は $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ と $x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ です。

2次式は、$a(x - \alpha)(x - \beta)$ のように因数分解できるので、

$2x^2 - 3x - 1 = 2(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})$

(2) $2(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$