与えられた2次式 $x^2 + 2x + 4$ を、複素数の範囲で因数分解せよ。

代数学二次方程式因数分解複素数解の公式
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた2次式 x2+2x+4x^2 + 2x + 4 を、複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 x2+2x+4=0x^2 + 2x + 4 = 0 の解を求めます。解の公式を使うと、
x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
ここで、a=1a = 1, b=2b = 2, c=4c = 4 なので、
x=2±2241421x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}
x=2±4162x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}
x=2±122x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}
x=2±232x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-3}}{2}
x=1±3x = -1 \pm \sqrt{-3}
x=1±i3x = -1 \pm i\sqrt{3}
したがって、2次方程式の解は x=1+i3x = -1 + i\sqrt{3}x=1i3x = -1 - i\sqrt{3} です。
これらの解を α=1+i3\alpha = -1 + i\sqrt{3}β=1i3\beta = -1 - i\sqrt{3} とすると、2次式は以下のように因数分解できます。
x2+2x+4=(xα)(xβ)x^2 + 2x + 4 = (x - \alpha)(x - \beta)
x2+2x+4=(x(1+i3))(x(1i3))x^2 + 2x + 4 = (x - (-1 + i\sqrt{3}))(x - (-1 - i\sqrt{3}))
x2+2x+4=(x+1i3)(x+1+i3)x^2 + 2x + 4 = (x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})

3. 最終的な答え

(x+1i3)(x+1+i3)(x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})

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