与えられた2次式 $x^2 + 2x + 4$ を、複素数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + 2x + 4$ を、複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の解を求めます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 2$, $c = 4$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{-3}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{-3}$

$x = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、2次方程式の解は $x = -1 + i\sqrt{3}$ と $x = -1 - i\sqrt{3}$ です。

これらの解を $\alpha = -1 + i\sqrt{3}$ と $\beta = -1 - i\sqrt{3}$ とすると、2次式は以下のように因数分解できます。

$x^2 + 2x + 4 = (x - \alpha)(x - \beta)$

$x^2 + 2x + 4 = (x - (-1 + i\sqrt{3}))(x - (-1 - i\sqrt{3}))$

$x^2 + 2x + 4 = (x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$(x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3})$