与えられた3つの問題に対して、それぞれの数の大小関係を比較し、小さい順に並べ替える。 (1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$, $\sqrt{3}$ (2) $4^{\frac{1}{4}}$, $8^{\frac{2}{9}}$, $\sqrt[3]{2}$, $(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$ (3) $\log_3 5$, $\frac{1}{2} + \log_9 8$, $\log_9 26$

1. 問題の内容

与えられた3つの問題に対して、それぞれの数の大小関係を比較し、小さい順に並べ替える。

(1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$, $\sqrt{3}$

(2) $4^{\frac{1}{4}}$, $8^{\frac{2}{9}}$, $\sqrt[3]{2}$, $(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$

(3) $\log_3 5$, $\frac{1}{2} + \log_9 8$, $\log_9 26$

2. 解き方の手順

(1) 全て6乗して比較する。

$(\sqrt[3]{5})^6 = 5^2 = 25$

$(\sqrt[4]{10})^6 = 10^{\frac{6}{4}} = 10^{\frac{3}{2}} = 10 \sqrt{10} = \sqrt{1000}$

$(\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27$

ここで、$\sqrt{1000}$は$\sqrt{625}=25$より大きく、$\sqrt{1296} = 36$より小さいので$\sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{5}$ である。

$\sqrt{3}$ と $\sqrt[4]{10}$ を比較すると、$27^2 = 729$ であり、$1000>729$ なので$\sqrt[4]{10} > \sqrt{3}$ である。

したがって、$\sqrt[3]{5} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$

(2) 全て18乗して比較する。

$(4^{\frac{1}{4}})^{18} = 4^{\frac{18}{4}} = 4^{\frac{9}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^9 = 2^9 = 512$

$(8^{\frac{2}{9}})^{18} = 8^{\frac{36}{9}} = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} = 4096$

$(\sqrt[3]{2})^{18} = 2^{\frac{18}{3}} = 2^6 = 64$

$((2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}})^{18} = (2\sqrt{2})^9 = (2^{\frac{3}{2}})^9 = 2^{\frac{27}{2}} = (2^{\frac{1}{2}})^{27} = \sqrt{2^{27}} = \sqrt{2^6 \times 2^6 \times 2^6 \times 2^6 \times 2^3} = \sqrt{64 \times 64 \times 64 \times 64 \times 8} = \sqrt{16777216 \times 8} = \sqrt{134217728}=2^9\sqrt{8} = 512\sqrt{8}$

大小関係は $2^6 < 2^9 < 2^{12}$ より、$64 < 512 < 4096$である。

$(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = (2 \times 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{4}}$なので、

$2^{\frac{6}{12}} < 2^{\frac{9}{12}} < 2^{\frac{12}{12}} < 2^{\frac{16}{12}}$,

つまり $2^{\frac{1}{2}} < 2^{\frac{3}{4}} < 2^{1} < 2^{\frac{4}{3}}$

$2^{\frac{3}{4}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$

最終的に $64 < 512 < 512\sqrt{8} < 4096$ なので、 $\sqrt[3]{2} < 4^{\frac{1}{4}} < (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} < 8^{\frac{2}{9}}$.

(3) 全て底を3の対数に変換して比較する。

$\log_3 5$

$\frac{1}{2} + \log_9 8 = \log_9 9^{\frac{1}{2}} + \log_9 8 = \log_9 \sqrt{9} + \log_9 8 = \log_9 3 + \log_9 8 = \log_9 (3\times8) = \log_9 24 = \frac{\log_3 24}{\log_3 9} = \frac{\log_3 24}{2} = \frac{1}{2} \log_3 24 = \log_3 24^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{24}$

$\log_9 26 = \frac{\log_3 26}{\log_3 9} = \frac{\log_3 26}{2} = \log_3 \sqrt{26}$

$5 < \sqrt{24} < \sqrt{26}$ なので、$\log_3 5 < \log_3 \sqrt{24} < \log_3 \sqrt{26}$

つまり、$\log_3 5 < \frac{1}{2} + \log_9 8 < \log_9 26$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$

(2) $\sqrt[3]{2} < 4^{\frac{1}{4}} < (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} < 8^{\frac{2}{9}}$

(3) $\log_3 5 < \frac{1}{2} + \log_9 8 < \log_9 26$