2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

解の一つを $\alpha$ とすると、もう一つの解は $4\alpha$ となる。

解と係数の関係より、以下の2つの式が成り立つ。

* 解の和：$\alpha + 4\alpha = 10$

* 解の積：$\alpha \cdot 4\alpha = m$

まず、解の和の式から $\alpha$ を求める。

$\alpha + 4\alpha = 5\alpha = 10$

$\alpha = \frac{10}{5} = 2$

したがって、2つの解は $\alpha = 2$ と $4\alpha = 4(2) = 8$ である。

次に、解の積の式から $m$ を求める。

$m = \alpha \cdot 4\alpha = 2 \cdot 8 = 16$

3. 最終的な答え

$m = 16$

2つの解は $x = 2, 8$