2次方程式 $x^2 - 10x + m = 0$ の一つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

代数学二次方程式解と係数の関係根の比
2025/7/10

1. 問題の内容

2次方程式 x210x+m=0x^2 - 10x + m = 0 の一つの解が他の解の4倍であるとき、定数 mm の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

解の一つを α\alpha とすると、もう一つの解は 4α4\alpha となる。
解と係数の関係より、以下の2つの式が成り立つ。
* 解の和:α+4α=10\alpha + 4\alpha = 10
* 解の積:α4α=m\alpha \cdot 4\alpha = m
まず、解の和の式から α\alpha を求める。
α+4α=5α=10\alpha + 4\alpha = 5\alpha = 10
α=105=2\alpha = \frac{10}{5} = 2
したがって、2つの解は α=2\alpha = 24α=4(2)=84\alpha = 4(2) = 8 である。
次に、解の積の式から mm を求める。
m=α4α=28=16m = \alpha \cdot 4\alpha = 2 \cdot 8 = 16

3. 最終的な答え

m=16m = 16
2つの解は x=2,8x = 2, 8

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